Номер 1.123, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.123*. Если двугранные углы при основании пирамиды равны между собой, то в многоугольник, являющийся основанием пирамиды, можно вписать окружность, и основание высоты пирамиды совпадет с центром этой окружности. Докажите.

Пусть дана пирамида с вершиной $S$ и основанием — многоугольником $A_1A_2...A_n$. Опустим из вершины $S$ высоту $SO$ на плоскость основания, где $O$ — основание высоты.

Двугранный угол при основании — это угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания. Чтобы измерить такой угол, нужно построить его линейный угол.

Рассмотрим произвольную сторону основания, например, $A_iA_{i+1}$. Из точки $O$ (основания высоты) опустим перпендикуляр $OH_i$ на эту сторону. Таким образом, отрезок $OH_i$ является расстоянием от точки $O$ до прямой $A_iA_{i+1}$, и $OH_i \perp A_iA_{i+1}$.

Соединим вершину пирамиды $S$ с точкой $H_i$. Мы получили наклонную $SH_i$, ее проекцией на плоскость основания является отрезок $OH_i$. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($OH_i$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($A_iA_{i+1}$), то и сама наклонная ($SH_i$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $SH_i \perp A_iA_{i+1}$. Отрезок $SH_i$ является апофемой боковой грани $SA_iA_{i+1}$.

Поскольку $OH_i$ (в плоскости основания) и $SH_i$ (в плоскости боковой грани) перпендикулярны общему ребру $A_iA_{i+1}$ и проходят через одну точку $H_i$, угол между ними, $\angle SH_iO$, является линейным углом двугранного угла при стороне $A_iA_{i+1}$.

По условию задачи все двугранные углы при основании равны. Обозначим их величину как $\alpha$. Это означает, что все построенные таким образом линейные углы для каждой стороны основания равны между собой: $\angle SH_1O = \angle SH_2O = \dots = \angle SH_nO = \alpha$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SOH_1, \triangle SOH_2, \dots, \triangle SOH_n$. Все они имеют общий катет $SO$ (высота пирамиды) и равный острый угол $\alpha$. Из соотношений в прямоугольном треугольнике $\triangle SOH_i$ выразим катет $OH_i$: $\cot(\alpha) = \frac{OH_i}{SO}$ Отсюда $OH_i = SO \cdot \cot(\alpha)$.

Поскольку высота $SO$ и угол $\alpha$ — величины постоянные для всех этих треугольников, то длины всех отрезков $OH_i$ равны между собой: $OH_1 = OH_2 = \dots = OH_n$.

Длина отрезка $OH_i$ — это расстояние от точки $O$ до стороны $A_iA_{i+1}$ основания. Равенство этих расстояний для всех сторон означает, что точка $O$ равноудалена от всех сторон многоугольника $A_1A_2...A_n$.

По определению, точка, равноудаленная от всех сторон многоугольника, является центром вписанной в него окружности. Следовательно, в многоугольник, являющийся основанием пирамиды, можно вписать окружность.

При этом мы строили нашу конструкцию от точки $O$, которая является основанием высоты пирамиды. Таким образом, основание высоты пирамиды и есть та самая точка, которая является центром вписанной окружности.

Ответ: Что и требовалось доказать.