Номер 1.150, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.150. Площади оснований усеченной пирамиды равны $2 \text{ см}^2$ и $32 \text{ см}^2$, а ее высота разделена на три равные части. Найдите площади сечений, параллельных основаниям усеченной пирамиды и проходящих через точки деления высоты.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади оснований усеченной пирамиды, где $S_1 = 32 \text{ см}^2$ и $S_2 = 2 \text{ см}^2$. Пусть $H$ — высота усеченной пирамиды.

Для любой усеченной пирамиды площадь сечения $S(x)$, параллельного основаниям и находящегося на расстоянии $x$ от основания с площадью $S_2$, может быть найдена с помощью свойства, что корень квадратный из площади сечения является линейной функцией от расстояния $x$.

То есть, $\sqrt{S(x)} = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые коэффициенты.

Определим эти коэффициенты, используя известные данные для оснований. Примем за начало отсчета плоскость меньшего основания ($S_2$).

При $x=0$, сечение совпадает с меньшим основанием, поэтому $S(0) = S_2 = 2 \text{ см}^2$.

$\sqrt{S(0)} = \sqrt{2}$.

Из нашей формулы: $\sqrt{S(0)} = k \cdot 0 + b = b$.

Следовательно, $b = \sqrt{2}$.

При $x=H$, сечение совпадает с большим основанием, поэтому $S(H) = S_1 = 32 \text{ см}^2$.

$\sqrt{S(H)} = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$.

Из нашей формулы: $\sqrt{S(H)} = kH + b = kH + \sqrt{2}$.

Приравнивая, получаем: $kH + \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$, откуда $kH = 3\sqrt{2}$.

Таким образом, зависимость имеет вид: $\sqrt{S(x)} = \frac{3\sqrt{2}}{H}x + \sqrt{2}$.

Высота $H$ разделена на три равные части, поэтому сечения проходят на расстояниях $x_1 = \frac{H}{3}$ и $x_2 = \frac{2H}{3}$ от меньшего основания. Найдем площади этих сечений, $S_A$ и $S_B$.

Площадь первого сечения (ближнего к меньшему основанию)

Расстояние $x_1 = \frac{H}{3}$. Подставим в формулу:

$\sqrt{S_A} = \frac{3\sqrt{2}}{H} \cdot \frac{H}{3} + \sqrt{2} = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Возведем в квадрат, чтобы найти площадь:

$S_A = (2\sqrt{2})^2 = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}^2$.

Площадь второго сечения (ближнего к большему основанию)

Расстояние $x_2 = \frac{2H}{3}$. Подставим в формулу:

$\sqrt{S_B} = \frac{3\sqrt{2}}{H} \cdot \frac{2H}{3} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Возведем в квадрат, чтобы найти площадь:

$S_B = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 \text{ см}^2$.

Ответ: площади сечений равны 8 см² и 18 см².