Номер 1.151, страница 49 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.151. Покажите, что противоположные грани октаэдра параллельны, и найдите расстояние между ними, если ребро октаэдра равно $\text{a}$.

Задача состоит из двух частей: доказательства параллельности противоположных граней октаэдра и нахождения расстояния между ними. Решим их последовательно.

1. Доказательство параллельности противоположных граней

Правильный октаэдр — это многогранник, обладающий центральной симметрией. Пусть центр октаэдра находится в точке $O$. Это означает, что для любой его вершины $A$ существует противоположная ей вершина $A'$, такая что точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. В векторной форме это записывается как $\vec{OA'} = -\vec{OA}$.

Рассмотрим две произвольные противоположные грани, образованные вершинами $A, B, C$ и $A', B', C'$ соответственно. Вершины $A', B', C'$ являются противоположными для вершин $A, B, C$.

Выразим векторы, определяющие стороны грани $A'B'C'$, через векторы сторон грани $ABC$. Для стороны $A'B'$ имеем:

$\vec{A'B'} = \vec{OB'} - \vec{OA'} = (-\vec{OB}) - (-\vec{OA}) = \vec{OA} - \vec{OB} = -(\vec{OB} - \vec{OA}) = -\vec{AB}$

Аналогично для стороны $B'C'$:

$\vec{B'C'} = \vec{OC'} - \vec{OB'} = (-\vec{OC}) - (-\vec{OB}) = \vec{OB} - \vec{OC} = -(\vec{OC} - \vec{OB}) = -\vec{BC}$

Из полученных равенств следует, что прямая $A'B'$ параллельна прямой $AB$, и прямая $B'C'$ параллельна прямой $BC$.

Таким образом, две пересекающиеся прямые ($A'B'$ и $B'C'$) в плоскости грани $A'B'C'$ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым ($AB$ и $BC$) в плоскости грани $ABC$. Согласно признаку параллельности двух плоскостей, плоскости, содержащие эти грани, параллельны. Что и требовалось доказать.

2. Нахождение расстояния между гранями

Для нахождения расстояния $H$ между противоположными гранями вычислим объем октаэдра $V$ двумя различными способами.

Способ 1: Октаэдр как две четырехугольные пирамиды.

Правильный октаэдр можно представить как две правильные четырехугольные пирамиды, соединенные своими основаниями. Основанием этих пирамид является квадрат, сторона которого равна ребру октаэдра $a$. Площадь этого квадрата равна $S_{кв} = a^2$.

Высоту каждой из этих пирамид $h_{пир}$ найдем по теореме Пифагора. Она является катетом в прямоугольном треугольнике, где гипотенуза — ребро октаэдра $a$, а второй катет — половина диагонали квадрата в основании ($\frac{a\sqrt{2}}{2}$).

$h_{пир}^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = a^2$

$h_{пир}^2 + \frac{2a^2}{4} = a^2 \implies h_{пир}^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$

Отсюда $h_{пир} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Объем всего октаэдра равен удвоенному объему одной пирамиды:

$V = 2 \cdot V_{пир} = 2 \cdot \left(\frac{1}{3} S_{кв} \cdot h_{пир}\right) = 2 \cdot \frac{1}{3} a^2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^3\sqrt{2}}{3}$.

Способ 2: Октаэдр как совокупность восьми тетраэдров.

Октаэдр можно разбить на 8 равных тетраэдров, общая вершина которых находится в центре октаэдра $O$, а основаниями служат грани октаэдра. Расстояние от центра $O$ до плоскости любой грани является высотой $h$ такого тетраэдра. Искомое расстояние $H$ между двумя противоположными гранями равно удвоенной высоте $h$ (т.е. $H=2h$), так как грани симметричны относительно центра.

Площадь одной грани, которая является равносторонним треугольником со стороной $a$, равна $S_{гр} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Объем октаэдра равен сумме объемов восьми таких тетраэдров:

$V = 8 \cdot V_{тет} = 8 \cdot \left(\frac{1}{3} S_{гр} \cdot h\right) = 8 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot h = \frac{2a^2\sqrt{3}}{3}h$.

Вычисление расстояния.

Приравняем два выражения, полученные для объема $V$:

$\frac{a^3\sqrt{2}}{3} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{3}h$

Сократим обе части на $\frac{a^2}{3}$:

$a\sqrt{2} = 2\sqrt{3}h$

Отсюда выразим $h$:

$h = \frac{a\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{6}$.

Искомое расстояние $H$ между противоположными гранями равно $2h$:

$H = 2 \cdot \frac{a\sqrt{6}}{6} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: расстояние между противоположными гранями октаэдра равно $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.