Номер 1.158, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.158. Постройте сечение прямых призм, проходящее через три указанные точки (рис.1.69).

Рис. 1.69

Для построения сечения призмы плоскостью, проходящей через три заданные точки, мы будем использовать метод следов. Этот метод заключается в построении линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью одного из оснований призмы. Затем, используя этот след, мы последовательно находим точки пересечения секущей плоскости с ребрами призмы и соединяем их, получая искомый многоугольник сечения.

Построение сечения левой (пятиугольной) призмы

Обозначим вершины призмы. Нижнее основание - $ABCDE$, верхнее - $A_1B_1C_1D_1E_1$. Боковые ребра - $AA_1, BB_1, \dots, EE_1$. Заданные точки, согласно рисунку, лежат на боковых ребрах. Обозначим их $P \in AA_1$, $Q \in CC_1$, и $R \in DD_1$.

Шаг 1: Построение отрезка сечения на грани.

Точки $Q$ и $R$ лежат на одной боковой грани $CDD_1C_1$. Следовательно, отрезок $QR$ является стороной искомого сечения.

Шаг 2: Построение следа секущей плоскости.

Найдем след секущей плоскости $\alpha=(PQR)$ на плоскости нижнего основания $ABCDE$.

1. В плоскости грани $CDD_1C_1$ продлим прямую $QR$ до пересечения с прямой $CD$ (продолжением ребра нижнего основания). Обозначим точку пересечения $M_1 = QR \cap CD$. Точка $M_1$ принадлежит и секущей плоскости $\alpha$, и плоскости нижнего основания, а значит, лежит на следе.

2. Аналогично, точки $P$ и $Q$ лежат в плоскости диагонального сечения $ACC_1A_1$. В этой же плоскости лежит прямая $AC$. Продлим прямую $PQ$ до пересечения с прямой $AC$. Обозначим точку пересечения $M_2 = PQ \cap AC$. Точка $M_2$ также лежит на следе.

3. Прямая $m = M_1M_2$ является следом секущей плоскости $\alpha$ на плоскости нижнего основания.

Шаг 3: Построение вершин и сторон сечения.

Теперь, используя след $m$, найдем остальные вершины многоугольника сечения.

1. Найдем точку пересечения секущей плоскости с ребром $BB_1$. Прямая пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $BCC_1B_1$ проходит через точку $Q$ и точку пересечения следа $m$ с прямой $BC$. Обозначим $K_1 = m \cap BC$. Проведем прямую $QK_1$, которая пересечет ребро $BB_1$ в точке $S$. Отрезок $QS$ - сторона сечения.

2. Точки $P$ и $S$ лежат на грани $ABB_1A_1$. Соединим их. Отрезок $PS$ - сторона сечения.

3. Найдем точку на ребре $EE_1$. Прямая пересечения $\alpha$ с гранью $AEE_1A_1$ проходит через точку $P$ и точку $K_2 = m \cap AE$. Прямая $PK_2$ пересекает ребро $EE_1$ в точке $T$. Отрезок $PT$ - сторона сечения.

4. Точки $T$ и $R$ лежат на грани $DEE_1D_1$. Соединим их. Отрезок $TR$ - сторона сечения.

Шаг 4: Завершение построения.

Мы получили замкнутый многоугольник $P-S-Q-R-T$. Это и есть искомое сечение.

Ответ: Сечением является пятиугольник $PSQRT$, вершины которого лежат на боковых ребрах призмы.

Построение сечения правой (шестиугольной) призмы

Обозначим вершины призмы. Нижнее основание - $A_1A_2A_3A_4A_5A_6$, верхнее - $B_1B_2B_3B_4B_5B_6$. Заданные точки, согласно рисунку: $P$ на ребре нижнего основания $A_1A_2$, $Q$ на боковом ребре $A_3B_3$, $R$ на боковом ребре $A_6B_6$.

Шаг 1: Построение следа секущей плоскости.

Найдем след секущей плоскости $\alpha=(PQR)$ на плоскости нижнего основания.

1. Точка $P$ лежит в плоскости основания, поэтому она принадлежит следу.

2. Найдем вторую точку следа. Точки $Q$ и $R$ лежат в плоскости диагонального сечения $A_3A_6B_6B_3$. В этой же плоскости лежит диагональ основания $A_3A_6$. Продлим прямую $QR$ до пересечения с прямой $A_3A_6$. Обозначим точку пересечения $M = QR \cap A_3A_6$. Точка $M$ принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания, а значит, лежит на следе.

3. Прямая $m = PM$ является следом секущей плоскости $\alpha$ на плоскости нижнего основания.

Шаг 2: Построение вершин и сторон сечения.

Будем последовательно строить стороны сечения, обходя грани призмы.

1. Сечение на нижнем основании. След $m$ пересекает контур основания в двух точках. Одна точка - $P$ на ребре $A_1A_2$. Другая точка, судя по расположению, будет на ребре $A_4A_5$. Обозначим её $S$. Отрезок $PS$ - сторона сечения.

2. Грань $A_3A_4B_4B_3$. Прямая пересечения плоскости $\alpha$ с этой гранью проходит через точку $Q$ и точку пересечения следа $m$ с ребром $A_3A_4$. Обозначим $K_4 = m \cap A_3A_4$. Прямая $QK_4$ пересекает ребро $A_4B_4$ в точке $T$. Отрезок $QT$ - сторона сечения.

3. Грань $A_4A_5B_5B_4$. На этой грани лежат точки $S$ (на ребре $A_4A_5$) и $T$ (на ребре $A_4B_4$). Соединив их, получаем сторону сечения $ST$.

4. Грань $A_2A_3B_3B_2$. Аналогично шагу (2), прямая сечения проходит через $Q$ и $K_2 = m \cap A_2A_3$. Прямая $QK_2$ пересекает ребро $A_2B_2$ в точке $U$. Отрезок $QU$ - сторона сечения.

5. Грань $A_1A_2B_2B_1$. На этой грани лежат точки $P$ (на ребре $A_1A_2$) и $U$ (на ребре $A_2B_2$). Соединив их, получаем сторону сечения $PU$.

6. Мы получили замкнутый многоугольник $P-S-T-Q-U-P$. Однако, этот многоугольник не включает точку $R$. Это означает, что сечение более сложное и пересекает больше граней. Продолжим построение.

7. Грань $A_5A_6B_6B_5$. Прямая сечения проходит через точку $R$ и $K_5 = m \cap A_5A_6$. Прямая $RK_5$ пересекает ребро $A_5B_5$ в точке $V$. Отрезок $RV$ - сторона сечения.

8. Грань $A_4A_5B_5B_4$. Теперь на этой грани есть точки $S \in A_4A_5$ и $V \in A_5B_5$. Соединяем их, получаем сторону $SV$. (Заметим, что $T$ из шага 3 и $V$ из шага 7 должны быть связаны, но для простоты построения рассмотрим полный обход).

9. Грань $A_6A_1B_1B_6$. Прямая сечения проходит через $R$ и $K_1 = m \cap A_6A_1$. Прямая $RK_1$ пересекает ребро $A_1B_1$ в точке $W$. Отрезок $RW$ - сторона сечения.

10. Грань $A_1A_2B_2B_1$. На этой грани есть точки $P \in A_1A_2$ и $W \in A_1B_1$. Соединяем их, получаем сторону $PW$.

Шаг 3: Завершение построения.

Соединяя все найденные вершины в правильном порядке, мы получаем замкнутый многоугольник. В результате последовательного обхода граней и соединения полученных точек ($P, S, V, R, W, U, Q, T$) образуется искомое сечение. В данном случае это семиугольник $P-S-V-R-W-U-Q-T$. (Примечание: в зависимости от точного положения точек $P, Q, R$ некоторые стороны могут вырождаться, и форма сечения может быть проще).

Ответ: Сечением является многоугольник (в общем случае - семиугольник), вершины которого лежат на ребрах основания и боковых ребрах призмы.