Вопросы, страница 59 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Запишите каноническое уравнение прямой, найдите ее направляющий вектор и координаты точки, лежащей на этой прямой.

2. Запишите уравнение плоскости, заданной вектором нормали.

3. Запишите общее уравнение плоскости, найдите ее вектор нормали.

4. Как определить координаты вектора, перпендикулярного двум заданным неколлинеарным векторам? Приведите пример.

5. Опишите и объясните способ нахождения уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки. Приведите пример.

6. Объясните способ нахождения направляющего вектора прямой, заданной общим уравнением. Приведите пример.

1. Каноническое уравнение прямой в пространстве имеет вид: $ \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n} $. Здесь $M_0(x_0, y_0, z_0)$ — это координаты точки, через которую проходит прямая, а $ \vec{s} = (l, m, n) $ — это координаты направляющего вектора прямой, который параллелен этой прямой. Например, для прямой, заданной уравнением $ \frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{5} = \frac{z}{-4} $, направляющий вектор имеет координаты $ \vec{s} = (3, 5, -4) $, а точка, лежащая на прямой, имеет координаты $ M_0(2, -1, 0) $.

Ответ: Каноническое уравнение прямой: $ \frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n} $. Направляющий вектор: $ \vec{s} = (l, m, n) $. Точка на прямой: $ M_0(x_0, y_0, z_0) $.

2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку $ M_0(x_0, y_0, z_0) $ и имеющей заданный вектор нормали (перпендикулярный вектор) $ \vec{n} = (A, B, C) $, имеет вид: $ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 $. Это уравнение следует из условия перпендикулярности вектора нормали $ \vec{n} $ и любого вектора $ \vec{M_0M} = (x - x_0, y - y_0, z - z_0) $, лежащего в плоскости, где $ M(x, y, z) $ — произвольная точка плоскости. Их скалярное произведение равно нулю: $ \vec{n} \cdot \vec{M_0M} = 0 $.

Ответ: Уравнение плоскости, заданной точкой $ M_0(x_0, y_0, z_0) $ и вектором нормали $ \vec{n} = (A, B, C) $: $ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 $.

3. Общее уравнение плоскости в пространстве имеет вид: $ Ax + By + Cz + D = 0 $, где коэффициенты $ A, B, C $ не равны нулю одновременно. Коэффициенты $ A, B, C $ при переменных $ x, y, z $ являются координатами вектора нормали (нормального вектора) $ \vec{n} $ к этой плоскости. Таким образом, вектор нормали имеет координаты $ \vec{n} = (A, B, C) $. Например, для плоскости, заданной уравнением $ 3x - 7y + 2z - 5 = 0 $, вектор нормали будет $ \vec{n} = (3, -7, 2) $.

Ответ: Общее уравнение плоскости: $ Ax + By + Cz + D = 0 $. Вектор нормали: $ \vec{n} = (A, B, C) $.

4. Координаты вектора, перпендикулярного двум заданным неколлинеарным векторам, можно определить с помощью векторного произведения. Если даны два вектора $ \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) $ и $ \vec{b} = (b_x, b_y, b_z) $, то их векторное произведение $ \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} $ будет вектором, перпендикулярным как вектору $ \vec{a} $, так и вектору $ \vec{b} $. Его координаты вычисляются по формуле: $ \vec{c} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x) $. Удобно использовать для расчета определитель: $ \vec{c} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} $.

Пример: Найдем вектор, перпендикулярный векторам $ \vec{a} = (2, 3, 1) $ и $ \vec{b} = (1, 0, -2) $. $ \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot (-2) - 1 \cdot 0) - \vec{j}(2 \cdot (-2) - 1 \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot 0 - 3 \cdot 1) = -6\vec{i} + 5\vec{j} - 3\vec{k} $.

Ответ: Координаты вектора, перпендикулярного двум заданным, находятся как их векторное произведение. В примере: $ \vec{c} = (-6, 5, -3) $.

5. Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $ M_1(x_1, y_1, z_1) $, $ M_2(x_2, y_2, z_2) $ и $ M_3(x_3, y_3, z_3) $, которые не лежат на одной прямой, нужно выполнить следующие шаги:

1. Выбрать одну из точек, например $ M_1 $, в качестве базовой.

2. Составить два вектора, лежащих в плоскости, с началом в этой точке: $ \vec{M_1M_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) $ и $ \vec{M_1M_3} = (x_3-x_1, y_3-y_1, z_3-z_1) $.

3. Найти вектор нормали $ \vec{n} $ к плоскости как векторное произведение этих двух векторов: $ \vec{n} = \vec{M_1M_2} \times \vec{M_1M_3} $.

4. Используя координаты вектора нормали $ \vec{n} = (A, B, C) $ и координаты одной из точек (например, $ M_1 $), составить уравнение плоскости: $ A(x - x_1) + B(y - y_1) + C(z - z_1) = 0 $.

Альтернативный способ — использовать условие компланарности векторов. Точка $ M(x, y, z) $ лежит в искомой плоскости тогда и только тогда, когда векторы $ \vec{M_1M} $, $ \vec{M_1M_2} $ и $ \vec{M_1M_3} $ компланарны, то есть их смешанное произведение равно нулю. Это приводит к уравнению в виде определителя: $ \begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \\ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \end{vmatrix} = 0 $.

Пример: Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $ M_1(1, 1, 0) $, $ M_2(2, -1, 1) $ и $ M_3(1, 2, 2) $. Составим определитель: $ \begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z - 0 \\ 2 - 1 & -1 - 1 & 1 - 0 \\ 1 - 1 & 2 - 1 & 2 - 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x - 1 & y - 1 & z \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0 $. Раскроем его: $ (x-1)((-2) \cdot 2 - 1 \cdot 1) - (y-1)(1 \cdot 2 - 1 \cdot 0) + z(1 \cdot 1 - (-2) \cdot 0) = 0 $. $ -5(x-1) - 2(y-1) + z = 0 $. $ -5x + 5 - 2y + 2 + z = 0 $. $ -5x - 2y + z + 7 = 0 $ или $ 5x + 2y - z - 7 = 0 $.

Ответ: В примере уравнение плоскости: $ 5x + 2y - z - 7 = 0 $.

6. Прямая в пространстве может быть задана общим уравнением как линия пересечения двух непараллельных плоскостей: $ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases} $ Первая плоскость имеет вектор нормали $ \vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1) $, а вторая — $ \vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2) $. Линия пересечения (искомая прямая) перпендикулярна обоим векторам нормали. Следовательно, ее направляющий вектор $ \vec{s} $ будет коллинеарен (параллелен) их векторному произведению. Таким образом, направляющий вектор прямой можно найти по формуле: $ \vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} $.

Пример: Найти направляющий вектор прямой, заданной системой: $ \begin{cases} 2x + 3y - z + 1 = 0 \\ x - y + 2z - 3 = 0 \end{cases} $ Векторы нормали плоскостей: $ \vec{n_1} = (2, 3, -1) $ и $ \vec{n_2} = (1, -1, 2) $. Найдем их векторное произведение: $ \vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1)) - \vec{j}(2 \cdot 2 - (-1) \cdot 1) + \vec{k}(2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1) = 5\vec{i} - 5\vec{j} - 5\vec{k} $. Направляющий вектор $ \vec{s} = (5, -5, -5) $. В качестве направляющего вектора можно также взять любой коллинеарный ему вектор, например $ (1, -1, -1) $.

Ответ: Направляющий вектор прямой, заданной общим уравнением, находится как векторное произведение векторов нормалей плоскостей, образующих эту прямую. В примере: $ \vec{s} = (5, -5, -5) $.