Номер 1.159, страница 52 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.159. 1) В равнобокую трапецию вписана окружность. Найдите большее основание трапеции, если радиус окружности равен 2, а площадь трапеции равна 20.

2) В равнобокую трапецию вписана окружность. Найдите меньшее основание трапеции, если радиус окружности равен 3, а большее основание трапеции равно 18.

1) Пусть $a$ и $b$ — основания равнобокой трапеции ($a$ — большее, $b$ — меньшее), $h$ — ее высота, $S$ — площадь, а $r$ — радиус вписанной окружности. Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности. По условию, радиус $r=2$, значит, высота $h = 2r = 2 \cdot 2 = 4$. Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$. Подставим известные значения $S=20$ и $h=4$: $20 = \frac{a+b}{2} \cdot 4$ $20 = 2(a+b)$ $a+b = 10$. В описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны. Для равнобокой трапеции с боковой стороной $c$ это свойство выглядит так: $a+b = 2c$. Отсюда находим длину боковой стороны: $c = \frac{a+b}{2} = \frac{10}{2} = 5$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $c$, высотой $h$ и отрезком на большем основании, равным $\frac{a-b}{2}$. По теореме Пифагора: $c^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$ Подставим известные значения $c=5$ и $h=4$: $5^2 = 4^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$ $25 = 16 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$ $\left(\frac{a-b}{2}\right)^2 = 25 - 16 = 9$ $\frac{a-b}{2} = \sqrt{9} = 3$ $a-b = 6$. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a$ и $b$: $\begin{cases} a+b = 10 \\ a-b = 6 \end{cases}$ Сложив эти два уравнения, получим: $2a = 16 \Rightarrow a = 8$. Вычтя второе уравнение из первого, получим: $2b = 4 \Rightarrow b = 2$. Большее основание трапеции равно 8.

Ответ: 8

2) Пусть $a$ и $b$ — основания равнобокой трапеции ($a=18$ — большее, $b$ — меньшее), $h$ — ее высота, $r$ — радиус вписанной окружности. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности: $h = 2r$. По условию, радиус $r=3$, следовательно, высота $h = 2 \cdot 3 = 6$. Пусть $c$ — боковая сторона трапеции. Так как в трапецию вписана окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон: $a+b=2c$, откуда $c = \frac{a+b}{2}$. Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, образованному боковой стороной $c$, высотой $h$ и отрезком на большем основании, равным $\frac{a-b}{2}$: $c^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$ Подставим в это уравнение выражение для $c$: $\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = h^2 + \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$ Раскроем скобки и умножим обе части на 4: $(a+b)^2 = 4h^2 + (a-b)^2$ $a^2 + 2ab + b^2 = 4h^2 + a^2 - 2ab + b^2$ $4ab = 4h^2$ $ab = h^2$ Это свойство (произведение оснований равно квадрату высоты) справедливо для любой равнобокой трапеции, в которую можно вписать окружность. Подставим известные значения $a=18$ и $h=6$ в полученное соотношение, чтобы найти меньшее основание $b$: $18 \cdot b = 6^2$ $18b = 36$ $b = \frac{36}{18} = 2$. Меньшее основание трапеции равно 2.

Ответ: 2