Работа в группе, страница 55 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Отвечая на заданные вопросы, выполните следующее задание.

II задание.

1) Можно ли провести плоскость, проходящую через заданную точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$, перпендикулярно вектору $n(a; b; c)$?

Если да, то сколько плоскостей можно провести, проходящих через точку $M_0$, перпендикулярно вектору $\text{n}$? Как называется вектор $\text{n}$?

2) Пусть $M(x; y; z)$ произвольная точка этой плоскости $\alpha$. Объясните, как будут располагаться векторы $\vec{M_0M}$ и $\text{n}$ в пространстве. Чему равно значение скалярного произведения $n \cdot \vec{M_0M}$?

3) Напишите координаты вектора $\vec{M_0M}$ и условие перпендикулярности векторов $\vec{M_0M}$ и $\text{n}$. Можно ли записанное условие перпендикулярности принимать в качестве уравнения плоскости $\alpha$?

Если да, то как это уравнение называется?

4) Как из уравнения $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$ получить общее уравнение плоскости $ax+by+cz+d=0$?

5) Напишите общее уравнение плоскости, если $M_0(1; 2; 3)$ и $n(2; -3; 4)$.

Итак, уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и перпендикулярной вектору $n(a; b; c)$ (рис. 2.2), записывается так:

$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.$ (3)

Отсюда, предполагая $d = -ax_0 -by_0 - cz_0$, покажите, что общее уравнение плоскости записывается следующим образом:

$ax + by + cz+d=0.$ (4)

Рис. 2.2

https://www.geogebra.org/m/nd7ck4z3

1) Да, можно провести плоскость, проходящую через заданную точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ перпендикулярно вектору $\vec{n}(a; b; c)$. Согласно одной из теорем стереометрии, через любую точку пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная данной прямой (и, следовательно, данному ненулевому вектору). Таким образом, можно провести только одну такую плоскость. Вектор $\vec{n}$ называется нормальным вектором или вектором нормали к плоскости.

Ответ: Да, можно провести одну такую плоскость. Вектор $\vec{n}$ называется нормальным вектором.

2) Если точка $M(x; y; z)$ — произвольная точка плоскости $\alpha$, а $M_0(x_0; y_0; z_0)$ — заданная точка этой же плоскости, то вектор $\vec{M_0M}$ целиком лежит в плоскости $\alpha$. Поскольку плоскость $\alpha$ по определению перпендикулярна вектору нормали $\vec{n}$, то любой вектор, лежащий в этой плоскости, будет перпендикулярен вектору $\vec{n}$. Следовательно, векторы $\vec{M_0M}$ и $\vec{n}$ являются перпендикулярными. Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно нулю.

Ответ: Векторы $\vec{M_0M}$ и $\vec{n}$ перпендикулярны. Значение скалярного произведения $\vec{n} \cdot \vec{M_0M} = 0$.

3) Координаты вектора $\vec{M_0M}$ находятся как разность координат конца вектора $M(x; y; z)$ и начала $M_0(x_0; y_0; z_0)$: $\vec{M_0M} = (x-x_0; y-y_0; z-z_0)$. Условие перпендикулярности векторов $\vec{M_0M}$ и $\vec{n}(a; b; c)$ — это равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{n} \cdot \vec{M_0M} = 0$, что в координатной форме записывается как $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$. Да, это условие можно принять в качестве уравнения плоскости, так как оно устанавливает связь между координатами $(x, y, z)$ любой точки, принадлежащей плоскости. Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору.

Ответ: Координаты вектора $\vec{M_0M} = (x-x_0; y-y_0; z-z_0)$. Условие перпендикулярности: $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$. Да, можно. Это уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.

4) Чтобы из уравнения $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ получить общее уравнение плоскости, необходимо раскрыть скобки и сгруппировать слагаемые: $ax - ax_0 + by - by_0 + cz - cz_0 = 0$. Перегруппируем члены уравнения: $ax + by + cz + (-ax_0 - by_0 - cz_0) = 0$. Обозначив свободный член $d = -ax_0 - by_0 - cz_0$, получим общее уравнение плоскости.

Ответ: Нужно раскрыть скобки в уравнении $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ и обозначить свободный член $d = -ax_0 - by_0 - cz_0$, что приведет к уравнению $ax + by + cz + d = 0$.

5) Для написания общего уравнения плоскости, проходящей через точку $M_0(1; 2; 3)$ с нормальным вектором $\vec{n}(2; -3; 4)$, используем уравнение $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$. Подставим известные значения $a=2, b=-3, c=4$ и $x_0=1, y_0=2, z_0=3$: $2(x-1) - 3(y-2) + 4(z-3) = 0$. Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить общее уравнение: $2x - 2 - 3y + 6 + 4z - 12 = 0$ $2x - 3y + 4z - 8 = 0$.

Ответ: $2x - 3y + 4z - 8 = 0$.