Номер 2.3, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.3. Найдите координату точки, принадлежащей и не принадлежащей данной плоскости:

1) $x + 2y - z - 2 = 0;$

2) $5x - y + 4z + 3 = 0;$

3) $2x - y + z - 3 = 0;$

4) $2y + z + 3 = 0.$

Для решения задачи необходимо выполнить два действия для каждого уравнения плоскости:

1. Найти точку, координаты $(x, y, z)$ которой удовлетворяют уравнению плоскости (при подстановке в уравнение получается верное равенство $0 = 0$).

2. Найти точку, координаты $(x, y, z)$ которой не удовлетворяют уравнению плоскости (при подстановке в уравнение получается неверное равенство).

1) Дано уравнение плоскости: $x + 2y - z - 2 = 0$.

Точка, принадлежащая плоскости:

Чтобы найти такую точку, можно задать произвольные значения двум координатам и вычислить третью. Возьмем $x=0$ и $y=0$. Подставим их в уравнение: $0 + 2(0) - z - 2 = 0$ $-z - 2 = 0 \implies z = -2$ Таким образом, точка с координатами $(0, 0, -2)$ принадлежит данной плоскости. Проверим: $0 + 2(0) - (-2) - 2 = 2 - 2 = 0$.

Точка, не принадлежащая плоскости:

Проверим, принадлежит ли плоскости начало координат, точка $(0, 0, 0)$. Подставим её координаты в уравнение: $0 + 2(0) - 0 - 2 = -2$ Так как $-2 \neq 0$, точка $(0, 0, 0)$ не принадлежит плоскости.

Ответ: точка, принадлежащая плоскости: $(0, 0, -2)$; точка, не принадлежащая плоскости: $(0, 0, 0)$.

2) Дано уравнение плоскости: $5x - y + 4z + 3 = 0$.

Точка, принадлежащая плоскости:

Пусть $x=0$ и $z=0$. Подставим в уравнение: $5(0) - y + 4(0) + 3 = 0$ $-y + 3 = 0 \implies y = 3$ Точка $(0, 3, 0)$ принадлежит данной плоскости. Проверим: $5(0) - 3 + 4(0) + 3 = -3 + 3 = 0$.

Точка, не принадлежащая плоскости:

Проверим точку $(0, 0, 0)$: $5(0) - 0 + 4(0) + 3 = 3$ Так как $3 \neq 0$, точка $(0, 0, 0)$ не принадлежит плоскости.

Ответ: точка, принадлежащая плоскости: $(0, 3, 0)$; точка, не принадлежащая плоскости: $(0, 0, 0)$.

3) Дано уравнение плоскости: $2x - y + z - 3 = 0$.

Точка, принадлежащая плоскости:

Пусть $x=0$ и $y=0$. Подставим в уравнение: $2(0) - 0 + z - 3 = 0$ $z - 3 = 0 \implies z = 3$ Точка $(0, 0, 3)$ принадлежит данной плоскости. Проверим: $2(0) - 0 + 3 - 3 = 0$.

Точка, не принадлежащая плоскости:

Проверим точку $(0, 0, 0)$: $2(0) - 0 + 0 - 3 = -3$ Так как $-3 \neq 0$, точка $(0, 0, 0)$ не принадлежит плоскости.

Ответ: точка, принадлежащая плоскости: $(0, 0, 3)$; точка, не принадлежащая плоскости: $(0, 0, 0)$.

4) Дано уравнение плоскости: $2y + z + 3 = 0$.

Точка, принадлежащая плоскости:

В уравнении отсутствует переменная $x$, что означает, что плоскость параллельна оси Ox, и координата $x$ может быть любой. Пусть $y=0$. Подставим в уравнение: $2(0) + z + 3 = 0$ $z + 3 = 0 \implies z = -3$ Выбрав $x=0$, получаем точку $(0, 0, -3)$, которая принадлежит плоскости. Проверим: $2(0) + (-3) + 3 = 0$.

Точка, не принадлежащая плоскости:

Проверим точку $(0, 0, 0)$: $2(0) + 0 + 3 = 3$ Так как $3 \neq 0$, точка $(0, 0, 0)$ не принадлежит плоскости.

Ответ: точка, принадлежащая плоскости: $(0, 0, -3)$; точка, не принадлежащая плоскости: $(0, 0, 0)$.