Номер 2.10, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.10. Даны координаты вершин треугольной пирамиды $ABCD$:

$A (1; -2; 5)$, $B (-3; 0; 0)$, $C (0; 0; 1)$ и $D (-2; 1; 4)$.

1) Напишите уравнение граней $ABC$ и $ABD$;

2) напишите общее уравнение прямой $\text{AB}$ и найдите направляющии вектор этой прямой;

3) покажите, что найденный вектор коллинеарен вектору $\text{AB}$. Сделайте вывод.

1) Напишите уравнение граней ABC и ABD

Для нахождения уравнения плоскости ABC, проходящей через три точки A(1; -2; 5), B(-3; 0; 0) и C(0; 0; 1), найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

$\vec{AB} = (-3-1; 0-(-2); 0-5) = (-4; 2; -5)$

$\vec{AC} = (0-1; 0-(-2); 1-5) = (-1; 2; -4)$

Нормальный вектор плоскости $\vec{n}_{ABC}$ найдем как векторное произведение этих векторов:

$\vec{n}_{ABC} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 2 & -5 \\ -1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = \vec{i}(2(-4) - (-5) \cdot 2) - \vec{j}((-4)(-4) - (-5)(-1)) + \vec{k}((-4) \cdot 2 - 2(-1)) = 2\vec{i} - 11\vec{j} - 6\vec{k}$

Таким образом, $\vec{n}_{ABC} = (2; -11; -6)$.

Уравнение плоскости имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$. Используя точку A(1; -2; 5) и вектор нормали $\vec{n}_{ABC}$:

$2(x-1) - 11(y-(-2)) - 6(z-5) = 0$

$2x - 2 - 11y - 22 - 6z + 30 = 0$

$2x - 11y - 6z + 6 = 0$

Аналогично найдем уравнение плоскости ABD, проходящей через точки A(1; -2; 5), B(-3; 0; 0) и D(-2; 1; 4).

Вектор $\vec{AB}$ уже найден: $\vec{AB} = (-4; 2; -5)$.

Найдем вектор $\vec{AD}$:

$\vec{AD} = (-2-1; 1-(-2); 4-5) = (-3; 3; -1)$

Нормальный вектор плоскости $\vec{n}_{ABD}$:

$\vec{n}_{ABD} = \vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 2 & -5 \\ -3 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2(-1) - (-5) \cdot 3) - \vec{j}((-4)(-1) - (-5)(-3)) + \vec{k}((-4) \cdot 3 - 2(-3)) = 13\vec{i} + 11\vec{j} - 6\vec{k}$

Таким образом, $\vec{n}_{ABD} = (13; 11; -6)$.

Используя точку A(1; -2; 5) и вектор нормали $\vec{n}_{ABD}$:

$13(x-1) + 11(y-(-2)) - 6(z-5) = 0$

$13x - 13 + 11y + 22 - 6z + 30 = 0$

$13x + 11y - 6z + 39 = 0$

Ответ: Уравнение грани ABC: $2x - 11y - 6z + 6 = 0$. Уравнение грани ABD: $13x + 11y - 6z + 39 = 0$.

2) напишите общее уравнение прямой AB и найдите направляющий вектор этой прямой

Общее уравнение прямой в пространстве задается системой уравнений двух плоскостей, пересекающихся по этой прямой. Поскольку прямая AB принадлежит как грани ABC, так и грани ABD, ее общее уравнение можно записать в виде системы уравнений этих двух плоскостей:

$ \begin{cases} 2x - 11y - 6z + 6 = 0 \\ 13x + 11y - 6z + 39 = 0 \end{cases} $

Направляющий вектор $\vec{s}$ прямой, заданной как пересечение двух плоскостей, можно найти как векторное произведение их нормальных векторов $\vec{n}_1 = (2; -11; -6)$ и $\vec{n}_2 = (13; 11; -6)$.

$\vec{s} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -11 & -6 \\ 13 & 11 & -6 \end{vmatrix} = \vec{i}((-11)(-6) - (-6) \cdot 11) - \vec{j}(2(-6) - (-6) \cdot 13) + \vec{k}(2 \cdot 11 - (-11) \cdot 13)$

$\vec{s} = \vec{i}(66+66) - \vec{j}(-12+78) + \vec{k}(22+143) = 132\vec{i} - 66\vec{j} + 165\vec{k}$

Таким образом, направляющий вектор $\vec{s} = (132; -66; 165)$.

Ответ: Общее уравнение прямой AB: $ \begin{cases} 2x - 11y - 6z + 6 = 0 \\ 13x + 11y - 6z + 39 = 0 \end{cases} $. Направляющий вектор: $\vec{s} = (132; -66; 165)$.

3) покажите, что найденный вектор коллинеарен вектору AB. Сделайте вывод.

Найдем вектор $\vec{AB}$, соединяющий точки A(1; -2; 5) и B(-3; 0; 0):

$\vec{AB} = (-3-1; 0-(-2); 0-5) = (-4; 2; -5)$

В пункте 2 был найден направляющий вектор прямой AB: $\vec{s} = (132; -66; 165)$.

Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Проверим это для векторов $\vec{s}$ и $\vec{AB}$:

$\frac{s_x}{AB_x} = \frac{132}{-4} = -33$

$\frac{s_y}{AB_y} = \frac{-66}{2} = -33$

$\frac{s_z}{AB_z} = \frac{165}{-5} = -33$

Так как отношения координат равны, векторы $\vec{s}$ и $\vec{AB}$ коллинеарны, и выполняется соотношение $\vec{s} = -33 \cdot \vec{AB}$.

Вывод: Направляющий вектор прямой, проходящей через две точки, — это сам вектор, соединяющий эти точки (или любой коллинеарный ему). Направляющий вектор прямой, заданной пересечением двух плоскостей, — это векторное произведение нормалей этих плоскостей. Так как мы рассматриваем одну и ту же прямую AB, то полученные двумя разными способами направляющие векторы должны быть коллинеарны, что и подтвердилось в расчетах.

Ответ: Векторы $\vec{s} = (132; -66; 165)$ и $\vec{AB} = (-4; 2; -5)$ коллинеарны, так как $\vec{s} = -33 \cdot \vec{AB}$.