Номер 2.16, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.16. Покажите, что прямые $\frac{x-1}{-2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z}{2}$ и $x = -1-t$, $y = 8-2t$, $z = 2+t$ пересекаются и напишите уравнение плоскости, проходящей через эти прямые.

Для решения задачи нам нужно выполнить два шага: сначала доказать, что данные прямые пересекаются, а затем найти уравнение плоскости, в которой они обе лежат.

Покажите, что прямые пересекаются

Даны две прямые. Первая прямая, $L_1$, задана каноническими уравнениями: $L_1: \frac{x-1}{-2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z}{2}$ Из этих уравнений можно определить точку на прямой $M_1(1, 2, 0)$ и её направляющий вектор $\vec{s_1} = \langle -2, 1, 2 \rangle$.

Вторая прямая, $L_2$, задана параметрическими уравнениями: $L_2: \begin{cases} x = -1 - t \\ y = 8 - 2t \\ z = 2 + t \end{cases}$ Точка на этой прямой — $M_2(-1, 8, 2)$, а её направляющий вектор — $\vec{s_2} = \langle -1, -2, 1 \rangle$.

Сначала проверим, не являются ли прямые параллельными. Для этого нужно проверить, коллинеарны ли их направляющие векторы. Сравним отношения их координат: $\frac{-2}{-1} = 2$; $\frac{1}{-2} = -0.5$. Поскольку $2 \neq -0.5$, векторы не коллинеарны, и, следовательно, прямые не параллельны.

Теперь выясним, пересекаются ли прямые или являются скрещивающимися. Прямые пересекаются, если существует точка, принадлежащая обеим прямым. Для нахождения такой точки запишем параметрические уравнения для прямой $L_1$, введя параметр $u$: $L_1: \frac{x-1}{-2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z}{2} = u \implies \begin{cases} x = 1 - 2u \\ y = 2 + u \\ z = 2u \end{cases}$

Приравняем соответствующие выражения для координат $x, y, z$ обеих прямых: $\begin{cases} 1 - 2u = -1 - t \\ 2 + u = 8 - 2t \\ 2u = 2 + t \end{cases}$

Решим эту систему уравнений относительно $u$ и $t$. Из третьего уравнения выразим $t$: $t = 2u - 2$ Подставим это выражение во второе уравнение: $2 + u = 8 - 2(2u - 2)$ $2 + u = 8 - 4u + 4$ $2 + u = 12 - 4u$ $5u = 10$ $u = 2$

Теперь найдём значение $t$: $t = 2(2) - 2 = 2$

Проверим, удовлетворяют ли найденные значения $u=2$ и $t=2$ первому уравнению системы: $1 - 2(2) = -1 - 2$ $1 - 4 = -3$ $-3 = -3$ Равенство выполняется. Поскольку система имеет единственное решение $(u=2, t=2)$, прямые пересекаются. Для полноты найдем точку пересечения, подставив $u=2$ в уравнения для $L_1$: $x = 1 - 2(2) = -3$ $y = 2 + 2 = 4$ $z = 2(2) = 4$ Точка пересечения — $P(-3, 4, 4)$. Таким образом, доказано, что прямые пересекаются.

напишите уравнение плоскости, проходящей через эти прямые

Две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость. Чтобы найти её уравнение, нам нужна точка на плоскости и вектор нормали к плоскости.

В качестве точки на плоскости можно использовать любую точку, лежащую на одной из прямых, например, $M_1(1, 2, 0)$ с прямой $L_1$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен направляющим векторам обеих прямых ($\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$). Следовательно, его можно найти как векторное произведение этих векторов: $\vec{n} = \vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 1 & 2 \\ -1 & -2 & 1 \end{vmatrix}$ $\vec{n} = \mathbf{i}(1 \cdot 1 - 2 \cdot (-2)) - \mathbf{j}(-2 \cdot 1 - 2 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(-2 \cdot (-2) - 1 \cdot (-1))$ $\vec{n} = \mathbf{i}(1 + 4) - \mathbf{j}(-2 + 2) + \mathbf{k}(4 + 1)$ $\vec{n} = 5\mathbf{i} - 0\mathbf{j} + 5\mathbf{k} = \langle 5, 0, 5 \rangle$

Для удобства в качестве вектора нормали можно взять любой коллинеарный вектор. Разделив $\vec{n}$ на 5, получим $\vec{n'} = \langle 1, 0, 1 \rangle$.

Теперь составим уравнение плоскости, проходящей через точку $M_1(1, 2, 0)$ с вектором нормали $\vec{n'} = \langle 1, 0, 1 \rangle$. Уравнение плоскости имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$: $1 \cdot (x - 1) + 0 \cdot (y - 2) + 1 \cdot (z - 0) = 0$ $x - 1 + 0 + z = 0$ $x + z - 1 = 0$

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через данные прямые: $x + z - 1 = 0$.