Работа в группе, страница 65 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Выполните следующее задание.

Задание 1

1) $\begin{cases} x - 2y + z - 3 = 0 \\ 3x + y - z + 1 = 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - 2y + z - 3 = 0 \\ 2x - 4y + 2z + 7 = 0 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - 2y + z - 3 = 0 \\ -2x + 4y - 2z + 6 = 0 \end{cases}$

Задание 2

1) $\begin{cases} x - y + 3z - 6 = 0 \\ y + z - 3 = 0 \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y + 3z - 6 = 0 \\ 2x - 2y + 6z + 6 = 0 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - y + 3z - 6 = 0 \\ -2x + 2y - 6z + 12 = 0 \end{cases}$

1) Какая фигура определяется каждым уравнением данных систем в пространстве?

2) Всегда ли можно определять прямую системой, указанной в заданиях? Укажите систему, определяющую и не определяющую прямую в пространстве. Обоснуйте ответ.

3) Если системой определена прямая, то как располагаются между собой плоскости, заданные каждым уравнением данной системы? Что можно сказать о векторах нормали этих плоскостей?

4) Если системой не определяется прямая, то как располагаются между собой плоскости, заданные каждым уравнением данной системы? Что можно сказать о векторах нормали этих плоскостей?

5) Если все коэффициенты и свободные члены уравнений системы пропорциональны между собой, то что можно сказать о соответствующих плоскостях?

Отвечая на данные вопросы, сделайте выводы о взаимном расположении двух плоскостей в пространстве.

1) Каждое уравнение вида $Ax+By+Cz+D=0$, где коэффициенты $A, B, C$ не равны нулю одновременно, определяет плоскость в трехмерном пространстве. Все уравнения в данных системах имеют именно такой вид.

Ответ: Каждое уравнение определяет плоскость в пространстве.

2) Нет, не всегда. Система из двух уравнений, задающих плоскости, определяет прямую только в том случае, если эти плоскости пересекаются. Если плоскости параллельны или совпадают, то система не определяет прямую (ее решением будет пустое множество или плоскость соответственно).

Система, определяющая прямую: Задание 1, 1) $\begin{cases} x-2y+z-3=0 \\ 3x+y-z+1=0 \end{cases}$. Векторы нормалей этих плоскостей $\vec{n}_1=(1, -2, 1)$ и $\vec{n}_2=(3, 1, -1)$ не коллинеарны, так как их координаты не пропорциональны: $\frac{1}{3} \neq \frac{-2}{1}$. Следовательно, плоскости пересекаются по прямой.

Система, не определяющая прямую: Задание 1, 2) $\begin{cases} x-2y+z-3=0 \\ 2x-4y+2z+7=0 \end{cases}$. Векторы нормалей $\vec{n}_1=(1, -2, 1)$ и $\vec{n}_2=(2, -4, 2)$ коллинеарны, так как $\vec{n}_2=2\vec{n}_1$. Это означает, что плоскости параллельны. Чтобы проверить, совпадают ли они, сравним уравнения. Умножим первое уравнение на 2: $2x-4y+2z-6=0$. Свободный член $-6$ не равен свободному члену второго уравнения $7$. Таким образом, система не имеет решений, а плоскости параллельны и не пересекаются.

Ответ: Не всегда. Система, определяющая прямую: Задание 1, 1). Система, не определяющая прямую: Задание 1, 2). Обоснование приведено выше.

3) Если системой определена прямая, это означает, что плоскости, заданные каждым уравнением данной системы, пересекаются. Векторы нормалей этих плоскостей не коллинеарны (не параллельны).

Ответ: Плоскости пересекаются по прямой. Векторы их нормалей не коллинеарны.

4) Если системой не определяется прямая, то плоскости, заданные каждым уравнением данной системы, параллельны. Это означает, что векторы нормалей этих плоскостей коллинеарны. Существует два варианта:

Вариант 1: Плоскости параллельны и не совпадают. В этом случае система уравнений не имеет решений. Это происходит, когда коэффициенты при переменных пропорциональны, а свободные члены — нет. Пример: Задание 1, 2).

Вариант 2: Плоскости совпадают. В этом случае решением системы является сама плоскость (бесконечное множество решений). Это происходит, когда все коэффициенты и свободные члены уравнений пропорциональны. Пример: Задание 1, 3).

Ответ: Плоскости либо параллельны и различны, либо совпадают. В обоих случаях векторы их нормалей коллинеарны.

5) Если все коэффициенты при переменных и свободные члены уравнений системы пропорциональны, то есть для уравнений $A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ и $A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$ выполняется условие $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$, то одно уравнение является следствием другого. Это означает, что оба уравнения описывают одну и ту же совокупность точек, то есть одну и ту же плоскость.

Ответ: Соответствующие плоскости совпадают.

Выводы о взаимном расположении двух плоскостей в пространстве

Анализ систем уравнений позволяет сделать следующие выводы о взаимном расположении двух плоскостей $\alpha_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$ и $\alpha_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$.

1. Плоскости пересекаются по прямой, если их векторы нормалей $\vec{n}_1=(A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n}_2=(A_2, B_2, C_2)$ не коллинеарны (их координаты не пропорциональны).

2. Плоскости параллельны, если их векторы нормалей коллинеарны (координаты пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = k$).

- Если это соотношение не выполняется для свободных членов ($\frac{D_1}{D_2} \neq k$), то плоскости параллельны, но не совпадают.

- Если это соотношение выполняется и для свободных членов ($\frac{D_1}{D_2} = k$), то плоскости совпадают.