Номер 2.19, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.19. Напишите уравнение прямой, проходящей через точки $M_1(1; 2)$ и $M_2(3; 4)$.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $M_1(x_1; y_1)$ и $M_2(x_2; y_2)$, можно воспользоваться одним из следующих способов.

Способ 1: Использование канонического уравнения прямой

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, в общем виде записывается как:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

В нашем случае даны точки $M_1(1; 2)$ и $M_2(3; 4)$. Подставим их координаты в формулу, где $x_1=1$, $y_1=2$, $x_2=3$, $y_2=4$:

$\frac{x - 1}{3 - 1} = \frac{y - 2}{4 - 2}$

Выполним вычисления в знаменателях:

$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

$x - 1 = y - 2$

Теперь приведем уравнение к виду $y = kx + b$, выразив $y$:

$y = x - 1 + 2$

$y = x + 1$

Способ 2: Использование уравнения с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член.

1. Сначала найдем угловой коэффициент $k$ по формуле:

$k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты точек $M_1(1; 2)$ и $M_2(3; 4)$:

$k = \frac{4 - 2}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1$

Теперь уравнение имеет вид $y = 1 \cdot x + b$, или $y = x + b$.

2. Далее найдем значение $b$, подставив координаты одной из точек (например, $M_1(1; 2)$) в полученное уравнение:

$2 = 1 + b$

Отсюда находим $b$:

$b = 2 - 1 = 1$

3. Подставим найденные значения $k=1$ и $b=1$ в уравнение $y = kx + b$:

$y = x + 1$

Оба способа приводят к одному и тому же результату. Уравнение можно также записать в общем виде $Ax + By + C = 0$, перенеся все члены в одну часть: $x - y + 1 = 0$.

Ответ: $y = x + 1$