Работа в группе, страница 63 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Ответьте на следующие вопросы и обсудите их вместе с классом.

1) Как могут располагаться прямая $\text{l}$ и плоскость $\alpha$ в пространстве? Перечислите все варианты и покажите их с помощью каких-либо моделей.

2) Прямая $\text{l}$ задана каноническим уравнением $\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{k}$, и плоскость $\alpha$ задана общим уравнением $ax + by + cz + d = 0$.

Что можно сказать о точке $M_0(x_0; y_0; z_0)$, векторах $\vec{p}(m; n; k)$ и $\vec{n}(a; b; c)$?

Итак, пусть в пространстве прямая $\text{l}$ и плоскость $\alpha$ заданы, соответственно, следующими уравнениями: $\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{k}$ и $ax + by + cz + d = 0$.

Тогда, как вы уже сами определили, прямая $\text{l}$ и плоскость $\alpha$ в пространстве могут располагаться следующим образом: 1) прямая и плоскость пересекаются; 2) прямая и плоскость не пересекаются, т.е. они параллельны; 3) прямая целиком лежит в плоскости.

Теперь опишите эти три случая на математическом языке, выразив через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и векторы $\vec{p}(m; n; k)$, $\vec{n}(a; b; c)$. Результат обсудите вместе с классом. Как располагаются прямая $\text{l}$ и плоскость $\alpha$ в пространстве, если: I. $\vec{p} \not\perp \vec{n}$; II. $\vec{p} \perp \vec{n}$, $M_0 \in \alpha$; III. $\vec{p} \perp \vec{n}$, $M_0 \notin \alpha$? Обоснуйте ответ.

1) Прямая $l$ и плоскость $\alpha$ в трехмерном пространстве могут иметь три варианта взаимного расположения:

1. Прямая пересекает плоскость. В этом случае у прямой и плоскости есть только одна общая точка. В качестве модели можно представить карандаш, протыкающий лист бумаги.

2. Прямая параллельна плоскости. В этом случае у прямой и плоскости нет общих точек. Моделью может служить карандаш, который держат над поверхностью стола параллельно ей.

3. Прямая лежит в плоскости. В этом случае все точки прямой принадлежат плоскости. Модель: карандаш, лежащий на поверхности стола.

Ответ: Прямая и плоскость могут: 1) пересекаться в одной точке; 2) быть параллельными (не иметь общих точек); 3) прямая может лежать в плоскости.

2) Из канонического уравнения прямой $l: \frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{k}$ и общего уравнения плоскости $\alpha: ax + by + cz + d = 0$ можно сделать следующие выводы о заданных элементах:

- Точка $M_0(x_0; y_0; z_0)$ — это точка, через которую проходит прямая $l$.

- Вектор $\vec{p}(m; n; k)$ — это направляющий вектор прямой $l$. Он параллелен прямой $l$ и задает ее направление.

- Вектор $\vec{n}(a; b; c)$ — это вектор нормали к плоскости $\alpha$. Он перпендикулярен плоскости $\alpha$.

Описание трех случаев взаимного расположения прямой и плоскости на математическом языке:

1. Прямая и плоскость пересекаются, если направляющий вектор прямой $\vec{p}$ не перпендикулярен нормальному вектору плоскости $\vec{n}$. Математически это означает, что их скалярное произведение не равно нулю: $\vec{p} \cdot \vec{n} \neq 0$, или в координатах: $am + bn + ck \neq 0$.

2. Прямая и плоскость параллельны (не пересекаются), если направляющий вектор прямой $\vec{p}$ перпендикулярен нормальному вектору плоскости $\vec{n}$, но точка $M_0$ с прямой не лежит на плоскости $\alpha$. Математически: $\vec{p} \cdot \vec{n} = 0$ (т.е. $am + bn + ck = 0$) и $M_0 \notin \alpha$ (т.е. $ax_0 + by_0 + cz_0 + d \neq 0$).

3. Прямая лежит в плоскости, если направляющий вектор прямой $\vec{p}$ перпендикулярен нормальному вектору плоскости $\vec{n}$, и точка $M_0$ с прямой лежит на плоскости $\alpha$. Математически: $\vec{p} \cdot \vec{n} = 0$ (т.е. $am + bn + ck = 0$) и $M_0 \in \alpha$ (т.е. $ax_0 + by_0 + cz_0 + d = 0$).

Теперь проанализируем заданные условия:

I. $\vec{p} \not\parallel \vec{n}$

Это условие означает, что направляющий вектор прямой $\vec{p}$ не коллинеарен (не параллелен) нормальному вектору плоскости $\vec{n}$. Геометрически это означает, что прямая $l$ не перпендикулярна плоскости $\alpha$. Данное условие само по себе не является достаточным для однозначного вывода, так как оно выполняется и для случая пересечения под углом, отличным от $90^\circ$, и для случая параллельности прямой и плоскости. Однако, поскольку условия II и III полностью описывают случаи, когда $\vec{p} \perp \vec{n}$ (что соответствует параллельности прямой и плоскости или расположению прямой в плоскости), то по методу исключения условие I должно описывать оставшийся случай — пересечение прямой и плоскости. Условием пересечения является неперпендикулярность векторов $\vec{p}$ и $\vec{n}$, т.е. $\vec{p} \cdot \vec{n} \neq 0$. Вероятно, в условии I допущена неточность и имелось в виду именно это.

Ответ: Прямая $l$ и плоскость $\alpha$ пересекаются в одной точке.

II. $\vec{p} \perp \vec{n}, M_0 \in \alpha$

Обоснование: Условие $\vec{p} \perp \vec{n}$ означает, что направляющий вектор прямой перпендикулярен вектору нормали плоскости. Их скалярное произведение равно нулю: $\vec{p} \cdot \vec{n} = am + bn + ck = 0$. Геометрически это означает, что прямая $l$ либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежит в ней. Условие $M_0 \in \alpha$ означает, что точка $M_0(x_0; y_0; z_0)$, принадлежащая прямой, также принадлежит и плоскости, то есть ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: $ax_0 + by_0 + cz_0 + d = 0$. Если прямая параллельна плоскости и имеет с ней хотя бы одну общую точку, то она целиком лежит в этой плоскости.

Ответ: Прямая $l$ целиком лежит в плоскости $\alpha$.

III. $\vec{p} \perp \vec{n}, M_0 \notin \alpha$

Обоснование: Условие $\vec{p} \perp \vec{n}$ означает, что направляющий вектор прямой перпендикулярен вектору нормали плоскости ($\vec{p} \cdot \vec{n} = am + bn + ck = 0$). Это означает, что прямая $l$ либо параллельна плоскости $\alpha$, либо лежит в ней. Условие $M_0 \notin \alpha$ означает, что точка $M_0(x_0; y_0; z_0)$, принадлежащая прямой, не принадлежит плоскости $\alpha$, то есть ее координаты не удовлетворяют уравнению плоскости: $ax_0 + by_0 + cz_0 + d \neq 0$. Если прямая параллельна плоскости, но не имеет с ней общих точек (о чем свидетельствует тот факт, что одна из точек прямой не лежит в плоскости), значит, прямая и плоскость не пересекаются.

Ответ: Прямая $l$ и плоскость $\alpha$ параллельны и не пересекаются.