Номер 2.18, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.18. Выясните взаимное расположение прямых, заданных в плоскости $Oxy$ уравнениями:

1) $x - 2y + 8 = 0$ и $5x - y = 0$;

2) $x - 2y + 8 = 0$ и $x = 2y$;

3) $2x - 4y = 16$ и $x = 2y + 8$.

1) $x-2y+8=0$ и $5x-y=0$

Для определения взаимного расположения прямых преобразуем их уравнения к виду с угловым коэффициентом $y=kx+b$, где $k$ – угловой коэффициент, а $b$ – сдвиг по оси $y$.

Для первой прямой $x-2y+8=0$ получаем $2y = x+8$, то есть $y = \frac{1}{2}x + 4$. Её угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2}$.

Для второй прямой $5x-y=0$ получаем $y = 5x$. Её угловой коэффициент $k_2 = 5$.

Поскольку угловые коэффициенты прямых не равны ($k_1 \neq k_2$), прямые пересекаются.

Ответ: пересекаются.

2) $x-2y+8=0$ и $x=2y$

Преобразуем уравнения к виду $y=kx+b$.

Для первой прямой $x-2y+8=0$ получаем $2y = x+8$, то есть $y = \frac{1}{2}x + 4$. Угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2}$, свободный член $b_1 = 4$.

Для второй прямой $x=2y$ получаем $y = \frac{1}{2}x$. Угловой коэффициент $k_2 = \frac{1}{2}$, свободный член $b_2 = 0$.

Поскольку угловые коэффициенты прямых равны ($k_1=k_2$), а свободные члены нет ($b_1 \neq b_2$), прямые параллельны.

Ответ: параллельны.

3) $2x-4y=16$ и $x=2y+8$

Преобразуем уравнения к виду $y=kx+b$.

Для первой прямой $2x-4y=16$ получаем $4y = 2x-16$, то есть $y = \frac{1}{2}x-4$. Угловой коэффициент $k_1 = \frac{1}{2}$, свободный член $b_1 = -4$.

Для второй прямой $x=2y+8$ получаем $2y = x-8$, то есть $y = \frac{1}{2}x-4$. Угловой коэффициент $k_2 = \frac{1}{2}$, свободный член $b_2 = -4$.

Поскольку и угловые коэффициенты, и свободные члены прямых равны ($k_1=k_2$ и $b_1=b_2$), уравнения описывают одну и ту же прямую. Следовательно, прямые совпадают.

Ответ: совпадают.