Номер 2.11, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.11. Используя условие предыдущей задачи, напишите уравнение прямой АВ по формуле прямой, проходящей через две заданные точки. По полученному каноническому уравнению прямой АВ напишите ее общее уравнение. Объясните причину несовпадения двух общих уравнений одной прямой АВ, полученных в этой и предыдущей задачах.

Для решения задачи необходимо использовать данные из предыдущей задачи. Поскольку они не предоставлены, воспользуемся типичными для таких задач данными: даны координаты точек A и B. Пусть $A(1, -2)$ и $B(7, 1)$. Также предположим, что в предыдущей задаче общее уравнение прямой AB было найдено с использованием нормального вектора, полученного из упрощенного направляющего вектора, и имело вид $x-2y-5=0$.

Написание уравнения прямой АВ по формуле прямой, проходящей через две заданные точки

Формула уравнения прямой, проходящей через две точки $M_1(x_1, y_1)$ и $M_2(x_2, y_2)$, имеет вид:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

Подставим координаты точек $A(1, -2)$ и $B(7, 1)$ в эту формулу:

$\frac{x - 1}{7 - 1} = \frac{y - (-2)}{1 - (-2)}$

$\frac{x - 1}{6} = \frac{y + 2}{3}$

Это каноническое уравнение прямой AB.

Ответ: Каноническое уравнение прямой AB: $\frac{x - 1}{6} = \frac{y + 2}{3}$.

Получение общего уравнения из канонического

Чтобы получить общее уравнение прямой вида $Ax+By+C=0$ из канонического, воспользуемся свойством пропорции:

$3(x - 1) = 6(y + 2)$

Раскроем скобки:

$3x - 3 = 6y + 12$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$3x - 6y - 3 - 12 = 0$

$3x - 6y - 15 = 0$

Это общее уравнение прямой AB.

Ответ: Общее уравнение прямой AB: $3x - 6y - 15 = 0$.

Объяснение причины несовпадения двух общих уравнений

В этой задаче мы получили общее уравнение $3x - 6y - 15 = 0$. В условии упоминается уравнение, полученное в предыдущей задаче. Предположим, оно было $x - 2y - 5 = 0$.

Сравним два уравнения:

• Уравнение из этой задачи: $3x - 6y - 15 = 0$
• Уравнение из предыдущей задачи (предполагаемое): $x - 2y - 5 = 0$

Если мы разделим все коэффициенты первого уравнения на 3, мы получим:

$\frac{3x - 6y - 15}{3} = 0 \implies x - 2y - 5 = 0$

Как видно, уравнения эквивалентны, так как одно получается из другого умножением на константу (в данном случае, на 3). Оба уравнения описывают одну и ту же прямую.

Причина формального несовпадения (различия в коэффициентах) заключается в методах их получения. Общее уравнение прямой $Ax+By+C=0$ не является единственным; любое уравнение $k(Ax+By+C)=0$ при $k \neq 0$ задает ту же самую прямую.

1. В предыдущей задаче, вероятно, использовался метод нахождения нормального вектора. Направляющий вектор $\vec{AB} = (7-1, 1-(-2)) = (6, 3)$. Его можно упростить, разделив на 3, до $\vec{s}=(2, 1)$. Тогда нормальный вектор $\vec{n}=(-1, 2)$, и уравнение (с точкой А) получается $-1(x-1)+2(y+2)=0 \implies -x+2y+5=0 \implies x-2y-5=0$.

2. В данной задаче формула прямой через две точки неявно использует полный (неупрощенный) направляющий вектор $\vec{AB}=(6, 3)$. Из канонического уравнения $\frac{x-1}{6}=\frac{y+2}{3}$ получается общее уравнение $3(x-1)=6(y+2)$, что соответствует нормальному вектору $(3, -6)$.

Нормальные векторы $( -1, 2)$ и $(3, -6)$ коллинеарны, так как $(3, -6) = -3 \cdot (-1, 2)$. Именно поэтому коэффициенты в двух общих уравнениях отличаются в -3 раза (или в 3 раза, если сравнивать $x-2y-5=0$ и $3x-6y-15=0$).

Ответ: Уравнения $3x - 6y - 15 = 0$ и $x - 2y - 5 = 0$ описывают одну и ту же прямую. Их коэффициенты отличаются, потому что общее уравнение прямой определяется с точностью до ненулевого множителя. Разные методы получения уравнения могут приводить к разным, но пропорциональным наборам коэффициентов, так как они могут быть основаны на коллинеарных, но не равных по длине, нормальных векторах.