Номер 2.7, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.7. Используя условие задачи 2.5, напишите уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(-2; 3; 0)$ параллельно векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

2.5. Покажите, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны и найдите координаты вектора $\vec{n}$, перпендикулярного этим векторам:

1) $\vec{a}(1; 2; -2)$, $\vec{b}(3; 0; 4)$;

2) $\vec{a}(0; 3; -4)$, $\vec{b}(2; 5; 4)$;

3) $\vec{a}(1; 3; -2)$, $\vec{b}(2; 1; 1)$;

4) $\vec{a}(-2; 1; 4)$, $\vec{b}(1; -2; 3)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и параллельной двум неколлинеарным векторам $\vec{a}=(a_1, a_2, a_3)$ и $\vec{b}=(b_1, b_2, b_3)$, можно найти, используя нормальный вектор плоскости $\vec{n}$. Вектор $\vec{n}$ перпендикулярен обоим векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, поэтому его можно найти как их векторное произведение: $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$. Если $\vec{n}=(A, B, C)$, то уравнение плоскости имеет вид $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$. В данной задаче точка $M_0$ имеет координаты $(-2; 3; 0)$.

1) Даны векторы $\vec{a}(1; 2; -2)$ и $\vec{b}(3; 0; 4)$.

Сначала проверим, что векторы неколлинеарны. Отношения их координат не равны: $1/3 \neq 2/0$. Следовательно, векторы неколлинеарны.

Найдем нормальный вектор $\vec{n}$ как векторное произведение $\vec{a} \times \vec{b}$:

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 4 - (-2) \cdot 0) - \vec{j}(1 \cdot 4 - (-2) \cdot 3) + \vec{k}(1 \cdot 0 - 2 \cdot 3) = 8\vec{i} - 10\vec{j} - 6\vec{k}$

Таким образом, $\vec{n} = (8; -10; -6)$. В качестве нормального вектора можно взять коллинеарный ему вектор, например, разделив координаты на 2: $\vec{n'} = (4; -5; -3)$.

Теперь составим уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(-2; 3; 0)$ с нормальным вектором $\vec{n'}=(4; -5; -3)$:

$4(x - (-2)) - 5(y - 3) - 3(z - 0) = 0$

$4(x + 2) - 5(y - 3) - 3z = 0$

$4x + 8 - 5y + 15 - 3z = 0$

$4x - 5y - 3z + 23 = 0$

Ответ: $4x - 5y - 3z + 23 = 0$.

2) Даны векторы $\vec{a}(0; 3; -4)$ и $\vec{b}(2; 5; 4)$.

Векторы неколлинеарны, так как первая координата вектора $\vec{a}$ равна нулю, а у вектора $\vec{b}$ нет, поэтому они не могут быть пропорциональны.

Найдем нормальный вектор $\vec{n}$:

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & -4 \\ 2 & 5 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 4 - (-4) \cdot 5) - \vec{j}(0 \cdot 4 - (-4) \cdot 2) + \vec{k}(0 \cdot 5 - 3 \cdot 2) = 32\vec{i} - 8\vec{j} - 6\vec{k}$

Таким образом, $\vec{n} = (32; -8; -6)$. Для удобства можно использовать вектор $\vec{n'} = (16; -4; -3)$, разделив координаты на 2.

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(-2; 3; 0)$ с нормальным вектором $\vec{n'}=(16; -4; -3)$:

$16(x - (-2)) - 4(y - 3) - 3(z - 0) = 0$

$16(x + 2) - 4(y - 3) - 3z = 0$

$16x + 32 - 4y + 12 - 3z = 0$

$16x - 4y - 3z + 44 = 0$

Ответ: $16x - 4y - 3z + 44 = 0$.

3) Даны векторы $\vec{a}(1; 3; -2)$ и $\vec{b}(2; 1; 1)$.

Векторы неколлинеарны, так как $1/2 \neq 3/1$.

Найдем нормальный вектор $\vec{n}$:

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 1 - (-2) \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 1 - (-2) \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 3 \cdot 2) = 5\vec{i} - 5\vec{j} - 5\vec{k}$

Таким образом, $\vec{n} = (5; -5; -5)$. Упростим, разделив на 5: $\vec{n'} = (1; -1; -1)$.

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(-2; 3; 0)$ с нормальным вектором $\vec{n'}=(1; -1; -1)$:

$1(x - (-2)) - 1(y - 3) - 1(z - 0) = 0$

$x + 2 - (y - 3) - z = 0$

$x + 2 - y + 3 - z = 0$

$x - y - z + 5 = 0$

Ответ: $x - y - z + 5 = 0$.

4) Даны векторы $\vec{a}(-2; 1; 4)$ и $\vec{b}(1; -2; 3)$.

Векторы неколлинеарны, так как $-2/1 \neq 1/(-2)$.

Найдем нормальный вектор $\vec{n}$:

$\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 3 - 4 \cdot (-2)) - \vec{j}((-2) \cdot 3 - 4 \cdot 1) + \vec{k}((-2) \cdot (-2) - 1 \cdot 1) = 11\vec{i} + 10\vec{j} + 3\vec{k}$

Таким образом, $\vec{n} = (11; 10; 3)$.

Составим уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(-2; 3; 0)$ с нормальным вектором $\vec{n}=(11; 10; 3)$:

$11(x - (-2)) + 10(y - 3) + 3(z - 0) = 0$

$11(x + 2) + 10(y - 3) + 3z = 0$

$11x + 22 + 10y - 30 + 3z = 0$

$11x + 10y + 3z - 8 = 0$

Ответ: $11x + 10y + 3z - 8 = 0$.