Номер 2.8, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.8. Используя условие задачи 2.6, с помощью формулы (1) най- дите координаты направляющего вектора и напишите канониче- ское уравнение этой прямой.

2.6. Найдите координату точки, принадлежащей и не принад- лежащей данной прямой:

1) $ \begin{cases} x+y-z-5=0, \\ 2x-y-3z-13=0; \end{cases} $ 2) $ \begin{cases} x+5y+9z-3=0, \\ 2x+y-5z+8=0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 2x+y-z-5=0, \\ 2y-3z+9=0; \end{cases} $ 4) $ \begin{cases} x+z-4=0, \\ y-z-1=0. \end{cases} $

1) Прямая задана как пересечение двух плоскостей: $x+y-z-5=0$ и $2x-y-3z-13=0$.

Нормальный вектор первой плоскости $\vec{n_1} = (1, 1, -1)$.

Нормальный вектор второй плоскости $\vec{n_2} = (2, -1, -3)$.

Направляющий вектор прямой $\vec{s}$ перпендикулярен обоим нормальным векторам, следовательно, его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & -3 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot (-3) - (-1) \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot (-3) - (-1) \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 2) = \vec{i}(-3-1) - \vec{j}(-3+2) + \vec{k}(-1-2) = -4\vec{i} + \vec{j} - 3\vec{k}$.

Таким образом, координаты направляющего вектора $\vec{s} = (-4, 1, -3)$.

Для написания канонического уравнения прямой $\frac{x-x_0}{s_x} = \frac{y-y_0}{s_y} = \frac{z-z_0}{s_z}$ найдем точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$, принадлежащую прямой. Для этого решим систему уравнений, положив одну из переменных, например $z=0$:

$\begin{cases} x+y-5=0 \\ 2x-y-13=0 \end{cases}$

Сложив два уравнения, получим $3x - 18 = 0$, откуда $x=6$.

Подставив $x=6$ в первое уравнение, получим $6+y-5=0$, откуда $y=-1$.

Итак, мы нашли точку на прямой $M_0(6, -1, 0)$.

Каноническое уравнение прямой:

$\frac{x-6}{-4} = \frac{y-(-1)}{1} = \frac{z-0}{-3}$

$\frac{x-6}{-4} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-3}$

Ответ: Координаты направляющего вектора: $(-4, 1, -3)$. Каноническое уравнение прямой: $\frac{x-6}{-4} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-3}$.

2) Прямая задана пересечением плоскостей: $x+5y+9z-3=0$ и $2x+y-5z+8=0$.

Нормальные векторы плоскостей: $\vec{n_1} = (1, 5, 9)$ и $\vec{n_2} = (2, 1, -5)$.

Направляющий вектор прямой $\vec{s}$ найдем как векторное произведение $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$:

$\vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 5 & 9 \\ 2 & 1 & -5 \end{vmatrix} = \vec{i}(5 \cdot (-5) - 9 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot (-5) - 9 \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 5 \cdot 2) = \vec{i}(-25-9) - \vec{j}(-5-18) + \vec{k}(1-10) = -34\vec{i} + 23\vec{j} - 9\vec{k}$.

Координаты направляющего вектора $\vec{s} = (-34, 23, -9)$.

Найдем точку на прямой. Положим $z=0$:

$\begin{cases} x+5y-3=0 \\ 2x+y+8=0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y = -2x-8$ и подставим в первое:

$x + 5(-2x-8) - 3 = 0$

$x - 10x - 40 - 3 = 0$

$-9x = 43 \implies x = -\frac{43}{9}$

Тогда $y = -2(-\frac{43}{9}) - 8 = \frac{86}{9} - \frac{72}{9} = \frac{14}{9}$.

Мы нашли точку на прямой $M_0(-\frac{43}{9}, \frac{14}{9}, 0)$.

Каноническое уравнение прямой:

$\frac{x-(-\frac{43}{9})}{-34} = \frac{y-\frac{14}{9}}{23} = \frac{z-0}{-9}$

$\frac{x+\frac{43}{9}}{-34} = \frac{y-\frac{14}{9}}{23} = \frac{z}{-9}$

Ответ: Координаты направляющего вектора: $(-34, 23, -9)$. Каноническое уравнение прямой: $\frac{x+43/9}{-34} = \frac{y-14/9}{23} = \frac{z}{-9}$.

3) Прямая задана пересечением плоскостей: $2x+y-z-5=0$ и $2y-3z+9=0$.

Нормальные векторы плоскостей: $\vec{n_1} = (2, 1, -1)$ и $\vec{n_2} = (0, 2, -3)$.

Направляющий вектор прямой $\vec{s}$ найдем как векторное произведение $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$:

$\vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot (-3) - (-1) \cdot 2) - \vec{j}(2 \cdot (-3) - (-1) \cdot 0) + \vec{k}(2 \cdot 2 - 1 \cdot 0) = \vec{i}(-3+2) - \vec{j}(-6-0) + \vec{k}(4-0) = -1\vec{i} + 6\vec{j} + 4\vec{k}$.

Координаты направляющего вектора $\vec{s} = (-1, 6, 4)$.

Найдем точку на прямой. Из второго уравнения $2y-3z+9=0$ удобно выразить одну переменную через другую. Пусть $y=0$, тогда $-3z+9=0$, откуда $z=3$.

Подставим $y=0$ и $z=3$ в первое уравнение:

$2x+0-3-5=0 \implies 2x-8=0 \implies x=4$.

Мы нашли точку на прямой $M_0(4, 0, 3)$.

Каноническое уравнение прямой:

$\frac{x-4}{-1} = \frac{y-0}{6} = \frac{z-3}{4}$

$\frac{x-4}{-1} = \frac{y}{6} = \frac{z-3}{4}$

Ответ: Координаты направляющего вектора: $(-1, 6, 4)$. Каноническое уравнение прямой: $\frac{x-4}{-1} = \frac{y}{6} = \frac{z-3}{4}$.

4) Прямая задана пересечением плоскостей: $x+z-4=0$ и $y-z-1=0$.

Нормальные векторы плоскостей: $\vec{n_1} = (1, 0, 1)$ и $\vec{n_2} = (0, 1, -1)$.

Направляющий вектор прямой $\vec{s}$ найдем как векторное произведение $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$:

$\vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 0) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = \vec{i}(-1) - \vec{j}(-1) + \vec{k}(1) = -1\vec{i} + 1\vec{j} + 1\vec{k}$.

Координаты направляющего вектора $\vec{s} = (-1, 1, 1)$.

Найдем точку на прямой. Из системы уравнений удобно выразить $x$ и $y$ через $z$:

$x = 4-z$

$y = 1+z$

Чтобы найти конкретную точку, зададим значение $z$. Пусть $z=0$.

Тогда $x = 4-0 = 4$ и $y = 1+0 = 1$.

Мы нашли точку на прямой $M_0(4, 1, 0)$.

Каноническое уравнение прямой:

$\frac{x-4}{-1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-0}{1}$

$\frac{x-4}{-1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{1}$

Ответ: Координаты направляющего вектора: $(-1, 1, 1)$. Каноническое уравнение прямой: $\frac{x-4}{-1} = \frac{y-1}{1} = z$.