Номер 2.15, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.15. Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую

$\begin{cases} x - 2y + 3z - 2 = 0, \\ 3x + y - z - 3 = 0 \end{cases}$ параллельно прямой $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 2}{5} = \frac{z}{4}$.

Искомая плоскость проходит через прямую, заданную как пересечение двух плоскостей:

$L_1: \begin{cases} x - 2y + 3z - 2 = 0 \\ 3x + y - z - 3 = 0 \end{cases}$

Следовательно, уравнение искомой плоскости можно записать в виде пучка плоскостей, проходящих через эту прямую. Уравнение пучка плоскостей имеет вид:

$(x - 2y + 3z - 2) + \lambda(3x + y - z - 3) = 0$

где $\lambda$ — некоторый числовой параметр.

Раскроем скобки и сгруппируем члены при $x$, $y$ и $z$, чтобы найти нормальный вектор этой плоскости:

$x - 2y + 3z - 2 + 3\lambda x + \lambda y - \lambda z - 3\lambda = 0$

$(1 + 3\lambda)x + (-2 + \lambda)y + (3 - \lambda)z + (-2 - 3\lambda) = 0$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к любой плоскости из этого пучка имеет координаты:

$\vec{n} = (1 + 3\lambda, -2 + \lambda, 3 - \lambda)$

По условию задачи, искомая плоскость параллельна прямой $L_2$:

$L_2: \frac{x-2}{3} = \frac{y+2}{5} = \frac{z}{4}$

Направляющий вектор этой прямой $\vec{s}$ имеет координаты, взятые из знаменателей канонического уравнения:

$\vec{s} = (3, 5, 4)$

Условие параллельности плоскости и прямой заключается в том, что нормальный вектор плоскости $\vec{n}$ перпендикулярен направляющему вектору прямой $\vec{s}$. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю:

$\vec{n} \cdot \vec{s} = 0$

Подставим координаты векторов и решим уравнение относительно $\lambda$:

$3(1 + 3\lambda) + 5(-2 + \lambda) + 4(3 - \lambda) = 0$

$3 + 9\lambda - 10 + 5\lambda + 12 - 4\lambda = 0$

Сгруппируем члены с $\lambda$ и свободные члены:

$(9 + 5 - 4)\lambda + (3 - 10 + 12) = 0$

$10\lambda + 5 = 0$

$10\lambda = -5$

$\lambda = -\frac{5}{10} = -\frac{1}{2}$

Теперь подставим найденное значение $\lambda = -1/2$ в уравнение пучка плоскостей:

$(x - 2y + 3z - 2) - \frac{1}{2}(3x + y - z - 3) = 0$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на 2:

$2(x - 2y + 3z - 2) - (3x + y - z - 3) = 0$

$2x - 4y + 6z - 4 - 3x - y + z + 3 = 0$

Приведем подобные члены:

$(2x - 3x) + (-4y - y) + (6z + z) + (-4 + 3) = 0$

$-x - 5y + 7z - 1 = 0$

Умножим уравнение на -1 для более удобного вида:

$x + 5y - 7z + 1 = 0$

Ответ: $x + 5y - 7z + 1 = 0$