Номер 2.13, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.13. Напишите уравнение плоскости в отрезках и найдите точки пересечения этой плоскости с осями координат:

1) $2x-3y+z-6 = 0;$

2) $x+y-2z - 4 = 0;$

3) $x-5y+2z+ 10 = 0;$

4) $3x-y+z-6=0.$

1) $2x - 3y + z - 6 = 0$

Для того чтобы написать уравнение плоскости в отрезках, необходимо преобразовать исходное общее уравнение. Уравнение плоскости в отрезках имеет вид $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$, где $a, b, c$ — величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях Ox, Oy и Oz соответственно.

Сначала перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$2x - 3y + z = 6$

Затем разделим обе части уравнения на 6, чтобы в правой части получить 1:

$\frac{2x}{6} - \frac{3y}{6} + \frac{z}{6} = 1$

Преобразуем полученное выражение к стандартному виду уравнения в отрезках:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{6} = 1$

Из этого уравнения видно, что плоскость отсекает на осях Ox, Oy и Oz отрезки $a=3$, $b=-2$ и $c=6$. Следовательно, точки пересечения с осями координат:

С осью Ox: $(3, 0, 0)$

С осью Oy: $(0, -2, 0)$

С осью Oz: $(0, 0, 6)$

Ответ: Уравнение в отрезках: $\frac{x}{3} + \frac{y}{-2} + \frac{z}{6} = 1$. Точки пересечения с осями координат: $(3, 0, 0)$, $(0, -2, 0)$, $(0, 0, 6)$.

2) $x + y - 2z - 4 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x + y - 2z = 4$

Разделим обе части уравнения на 4:

$\frac{x}{4} + \frac{y}{4} - \frac{2z}{4} = 1$

Приведем к стандартному виду уравнения в отрезках:

$\frac{x}{4} + \frac{y}{4} + \frac{z}{-2} = 1$

Величины отрезков, отсекаемых на осях: $a=4$, $b=4$, $c=-2$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью Ox: $(4, 0, 0)$

С осью Oy: $(0, 4, 0)$

С осью Oz: $(0, 0, -2)$

Ответ: Уравнение в отрезках: $\frac{x}{4} + \frac{y}{4} + \frac{z}{-2} = 1$. Точки пересечения с осями координат: $(4, 0, 0)$, $(0, 4, 0)$, $(0, 0, -2)$.

3) $x - 5y + 2z + 10 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x - 5y + 2z = -10$

Разделим обе части уравнения на -10:

$\frac{x}{-10} + \frac{-5y}{-10} + \frac{2z}{-10} = 1$

Приведем к стандартному виду уравнения в отрезках:

$\frac{x}{-10} + \frac{y}{2} + \frac{z}{-5} = 1$

Величины отрезков, отсекаемых на осях: $a=-10$, $b=2$, $c=-5$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью Ox: $(-10, 0, 0)$

С осью Oy: $(0, 2, 0)$

С осью Oz: $(0, 0, -5)$

Ответ: Уравнение в отрезках: $\frac{x}{-10} + \frac{y}{2} + \frac{z}{-5} = 1$. Точки пересечения с осями координат: $(-10, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$, $(0, 0, -5)$.

4) $3x - y + z - 6 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$3x - y + z = 6$

Разделим обе части уравнения на 6:

$\frac{3x}{6} - \frac{y}{6} + \frac{z}{6} = 1$

Приведем к стандартному виду уравнения в отрезках:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{-6} + \frac{z}{6} = 1$

Величины отрезков, отсекаемых на осях: $a=2$, $b=-6$, $c=6$.

Точки пересечения с осями координат:

С осью Ox: $(2, 0, 0)$

С осью Oy: $(0, -6, 0)$

С осью Oz: $(0, 0, 6)$

Ответ: Уравнение в отрезках: $\frac{x}{2} + \frac{y}{-6} + \frac{z}{6} = 1$. Точки пересечения с осями координат: $(2, 0, 0)$, $(0, -6, 0)$, $(0, 0, 6)$.