Номер 2.17, страница 62 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.17*. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку $M_0(2; 1; 3)$ и отсекающей от координатных осей равные отрезки.

Для решения этой задачи воспользуемся уравнением плоскости в отрезках, которое имеет вид:

$ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 $

Здесь $a$, $b$ и $c$ — это величины отрезков, отсекаемых плоскостью от координатных осей $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно.

Условие "отсекающей от координатных осей равные отрезки", особенно с учетом того, что задача отмечена звездочкой (*), следует трактовать в более широком смысле: длины отсекаемых отрезков равны. Это означает, что $|a| = |b| = |c|$. Данное условие эквивалентно тому, что нормальный вектор плоскости имеет компоненты, равные по модулю. То есть, уравнение плоскости можно записать в виде $Ax \pm By \pm Cz = D$, где $|A|=|B|=|C|$. Без ограничения общности можно положить, что коэффициенты при $x, y, z$ равны $\pm 1$.

Рассмотрим все возможные комбинации знаков, подставляя в каждое уравнение координаты точки $M_0(2; 1; 3)$, чтобы найти соответствующее значение $D$. Существует четыре уникальных (с точностью до умножения на -1) уравнения.

1. Уравнение вида $x + y + z = D$

Подставим координаты точки $M_0(2; 1; 3)$ в уравнение:

$2 + 1 + 3 = D$

$D = 6$

Следовательно, первое возможное уравнение плоскости: $x + y + z = 6$.

Ответ: $x + y + z - 6 = 0$

2. Уравнение вида $x + y - z = D$

Подставим координаты точки $M_0(2; 1; 3)$ в уравнение:

$2 + 1 - 3 = D$

$D = 0$

В этом случае уравнение имеет вид $x + y - z = 0$. Эта плоскость проходит через начало координат, и все отсекаемые ею отрезки равны нулю, что также удовлетворяет условию "равные отрезки".

Ответ: $x + y - z = 0$

3. Уравнение вида $x - y + z = D$

Подставим координаты точки $M_0(2; 1; 3)$ в уравнение:

$2 - 1 + 3 = D$

$D = 4$

Третье возможное уравнение плоскости: $x - y + z = 4$.

Ответ: $x - y + z - 4 = 0$

4. Уравнение вида $-x + y + z = D$

Подставим координаты точки $M_0(2; 1; 3)$ в уравнение:

$-2 + 1 + 3 = D$

$D = 2$

Четвертое возможное уравнение плоскости: $-x + y + z = 2$.

Ответ: $-x + y + z - 2 = 0$

Остальные комбинации знаков (например, $x - y - z = D$) приводят к уравнениям, эквивалентным уже найденным (например, $-x + y + z = -D$). Таким образом, задача имеет четыре решения.