Вопросы, страница 68 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1) Как могут располагаться прямая и плоскость? Рассмотрите все случаи, запишите соответствующие условия и, проанализировав, объясните их смысл.

2) Опишите и объясните процесс нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

3) Как могут располагаться две плоскости в пространстве? Рассмотрите все случаи, запишите соответствующие условия и, проанализировав, объясните их смысл.

4) Как могут располагаться две прямые в пространстве? Рассмотрите все случаи и объясните их смысл. Опишите и объясните способ определения взаимного расположения двух прямых по их уравнениям.

1) Как могут располагаться прямая и плоскость? Рассмотрите все случаи, запишите соответствующие условия и, проанализировав, объясните их смысл.

Пусть в пространстве задана плоскость $\Pi$ общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, нормальный вектор которой $\vec{n} = (A, B, C)$. Прямая $l$ задана параметрическими уравнениями $x = x_0 + mt, y = y_0 + nt, z = z_0 + pt$, где $M_0(x_0, y_0, z_0)$ — точка на прямой, а $\vec{s} = (m, n, p)$ — её направляющий вектор. Существует три варианта их взаимного расположения:

• Прямая пересекает плоскость в одной точке.

  Это происходит, когда направляющий вектор прямой $\vec{s}$ не перпендикулярен нормальному вектору плоскости $\vec{n}$.

  Условие: Скалярное произведение векторов $\vec{n}$ и $\vec{s}$ не равно нулю: $\vec{n} \cdot \vec{s} \neq 0$.

  В координатах: $Am + Bn + Cp \neq 0$.

  Смысл: Если направляющий вектор прямой не перпендикулярен нормали к плоскости, значит прямая "направлена" в сторону плоскости под некоторым углом, отличным от нуля, и неизбежно её проткнёт в одной точке.

• Прямая параллельна плоскости.

  Это происходит, когда у прямой и плоскости нет общих точек. Для этого направляющий вектор прямой $\vec{s}$ должен быть перпендикулярен нормальному вектору плоскости $\vec{n}$, а любая точка прямой $M_0$ не должна лежать в этой плоскости.

  Условия:

  1. Скалярное произведение векторов $\vec{n}$ и $\vec{s}$ равно нулю: $\vec{n} \cdot \vec{s} = 0$ (или $Am + Bn + Cp = 0$).
  2. Точка $M_0(x_0, y_0, z_0)$ не удовлетворяет уравнению плоскости: $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \neq 0$.

  Смысл: Первое условие обеспечивает, что прямая имеет такое же "направление", как и сама плоскость (она ей параллельна или лежит в ней). Второе условие подтверждает, что прямая не имеет с плоскостью общих точек, то есть находится на некотором расстоянии от неё.

• Прямая лежит в плоскости.

  Это происходит, когда все точки прямой принадлежат плоскости. Для этого направляющий вектор прямой $\vec{s}$ должен быть перпендикулярен нормальному вектору плоскости $\vec{n}$, и любая точка прямой $M_0$ должна лежать в этой плоскости.

  Условия:

  1. Скалярное произведение векторов $\vec{n}$ и $\vec{s}$ равно нулю: $\vec{n} \cdot \vec{s} = 0$ (или $Am + Bn + Cp = 0$).
  2. Точка $M_0(x_0, y_0, z_0)$ удовлетворяет уравнению плоскости: $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0$.

  Смысл: Первое условие, как и в предыдущем случае, задает параллельность прямой и плоскости. Второе условие "привязывает" прямую к плоскости, указывая, что у них есть хотя бы одна общая точка. Если прямая параллельна плоскости и имеет с ней хотя бы одну общую точку, то все её точки лежат в этой плоскости.

Ответ: Прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке ($\vec{n} \cdot \vec{s} \neq 0$), быть параллельными ( $\vec{n} \cdot \vec{s} = 0$ и точка прямой не лежит на плоскости) или прямая может лежать в плоскости ( $\vec{n} \cdot \vec{s} = 0$ и точка прямой лежит на плоскости).

2) Опишите и объясните процесс нахождения точки пересечения прямой и плоскости.

Чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, необходимо решить систему их уравнений. Процесс состоит из следующих шагов:

1. Запишем уравнения прямой и плоскости. Удобнее всего использовать параметрические уравнения для прямой $l$: $x = x_0 + mt, y = y_0 + nt, z = z_0 + pt$ и общее уравнение для плоскости $\Pi$: $Ax + By + Cz + D = 0$.

2. Прежде чем искать точку, убедимся, что она единственная. Для этого проверяем условие пересечения: $Am + Bn + Cp \neq 0$. Если условие не выполнено, прямая и плоскость либо параллельны (нет точек пересечения), либо прямая лежит в плоскости (бесконечно много точек пересечения).

3. Подставим параметрические выражения для $x, y, z$ из уравнений прямой в уравнение плоскости. Это позволяет найти значение параметра $t$, которое соответствует точке пересечения.

   $A(x_0 + mt) + B(y_0 + nt) + C(z_0 + pt) + D = 0$

4. Решим полученное линейное уравнение относительно $t$:

   $t(Am + Bn + Cp) + (Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D) = 0$

   $t = -\frac{Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D}{Am + Bn + Cp}$

   Так как мы проверили, что знаменатель не равен нулю, мы всегда можем найти единственное значение $t$.

5. Подставим найденное значение параметра $t$ обратно в параметрические уравнения прямой, чтобы вычислить координаты $(x, y, z)$ точки пересечения.

   $x_{перес} = x_0 + m \cdot t$

   $y_{перес} = y_0 + n \cdot t$

   $z_{перес} = z_0 + p \cdot t$

Ответ: Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости нужно подставить параметрические уравнения прямой в общее уравнение плоскости, найти из полученного уравнения значение параметра $t$, а затем подставить это значение обратно в уравнения прямой для вычисления координат точки.

3) Как могут располагаться две плоскости в пространстве? Рассмотрите все случаи, запишите соответствующие условия и, проанализировав, объясните их смысл.

Пусть даны две плоскости $\Pi_1$ и $\Pi_2$ своими общими уравнениями: $\Pi_1: A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ с нормальным вектором $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$. $\Pi_2: A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ с нормальным вектором $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$. Взаимное расположение двух плоскостей определяется взаимным расположением их нормальных векторов.

• Плоскости пересекаются по прямой.

  Это происходит, когда плоскости не параллельны друг другу.

  Условие: Их нормальные векторы $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ не коллинеарны (не параллельны).

  В координатах: Коэффициенты при переменных не пропорциональны: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2}$ — это равенство не выполняется (хотя бы одно из отношений не равно другим).

  Смысл: Направление плоскости в пространстве задается ее нормальным вектором. Если нормали направлены в разные стороны, то и сами плоскости "наклонены" друг к другу и должны пересечься. Линия их пересечения будет перпендикулярна обоим нормальным векторам.

• Плоскости параллельны.

  Это происходит, когда плоскости не имеют общих точек.

  Условие: Их нормальные векторы $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$ коллинеарны, но коэффициенты в уравнениях не полностью пропорциональны.

  В координатах: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$.

  Смысл: Коллинеарность нормальных векторов означает, что плоскости имеют одинаковую ориентацию в пространстве. Непропорциональность свободных членов $D_1$ и $D_2$ означает, что одна плоскость смещена относительно другой и они никогда не пересекутся.

• Плоскости совпадают.

  Это происходит, когда обе плоскости являются одной и той же плоскостью.

  Условие: Их нормальные векторы коллинеарны, и все коэффициенты уравнений пропорциональны.

  В координатах: $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = \frac{D_1}{D_2}$.

  Смысл: Это условие означает, что одно уравнение плоскости можно получить из другого умножением на число. Следовательно, оба уравнения описывают одно и то же множество точек в пространстве, то есть одну и ту же плоскость.

Ответ: Две плоскости в пространстве могут пересекаться по прямой (их нормальные векторы не коллинеарны), быть параллельными (нормальные векторы коллинеарны, но свободные члены не пропорциональны) или совпадать (все коэффициенты уравнений пропорциональны).

4) Как могут располагаться две прямые в пространстве? Рассмотрите все случаи и объясните их смысл. Опишите и объясните способ определения взаимного расположения двух прямых по их уравнениям.

Две прямые в трехмерном пространстве могут иметь следующее взаимное расположение:

• Пересекаются: прямые имеют одну общую точку. В этом случае они лежат в одной плоскости.
• Параллельны: прямые не имеют общих точек и лежат в одной плоскости.
• Совпадают: прямые являются одной и той же линией, то есть все их точки общие.
• Скрещиваются: прямые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости.

Для определения взаимного расположения двух прямых по их уравнениям используется следующий алгоритм.

Пусть прямая $l_1$ проходит через точку $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и имеет направляющий вектор $\vec{s_1} = (m_1, n_1, p_1)$. Прямая $l_2$ проходит через точку $M_2(x_2, y_2, z_2)$ и имеет направляющий вектор $\vec{s_2} = (m_2, n_2, p_2)$. Также построим вектор $\vec{M_1M_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.

Шаг 1: Проверка коллинеарности направляющих векторов $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$.

Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны: $\frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{p_1}{p_2}$.

• Если векторы коллинеарны, то прямые либо параллельны, либо совпадают. Чтобы их различить, нужно проверить, лежит ли точка одной прямой на другой. Для этого проверяем коллинеарность вектора $\vec{M_1M_2}$ с любым из направляющих векторов (например, с $\vec{s_1}$).
  • Если $\vec{M_1M_2}$ коллинеарен $\vec{s_1}$, то точка $M_1$ лежит на прямой $l_2$ (и наоборот), и прямые совпадают.
  • Если $\vec{M_1M_2}$ не коллинеарен $\vec{s_1}$, то прямые параллельны.
• Если векторы не коллинеарны, то прямые либо пересекаются, либо скрещиваются. Они пересекаются, если лежат в одной плоскости (компланарны), и скрещиваются, если не лежат.

Шаг 2: Проверка компланарности векторов $\vec{s_1}$, $\vec{s_2}$ и $\vec{M_1M_2}$.

Три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Смешанное произведение вычисляется как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:

$(\vec{s_1}, \vec{s_2}, \vec{M_1M_2}) = \begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ m_1 & n_1 & p_1 \\ m_2 & n_2 & p_2 \end{vmatrix}$

• Если смешанное произведение равно нулю, векторы компланарны. Так как $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$ не коллинеарны, прямые пересекаются.
• Если смешанное произведение не равно нулю, векторы не компланарны, значит прямые не лежат в одной плоскости и скрещиваются.

Ответ: Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными, совпадать или скрещиваться. Их взаимное расположение определяется путем анализа коллинеарности их направляющих векторов и компланарности этих векторов с вектором, соединяющим точки на прямых (через смешанное произведение).