Номер 2.26, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.26. Найдите точку пересечения прямой и плоскости:

1) $\frac{x+1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{-1}$ и $3x - 2y + z - 3 = 0$;

2) $x = 2t$, $y = 1 + t$, $z = 2t - 1$ и $x + 2y + 3z - 5 = 0$.

1) Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости необходимо найти координаты $(x, y, z)$, которые удовлетворяют как уравнению прямой, так и уравнению плоскости.

Уравнение прямой задано в каноническом виде: $\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{-1}$.

Уравнение плоскости: $3x-2y+z-3=0$.

Для удобства представим уравнение прямой в параметрическом виде, введя параметр $t$:

$\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{-1} = t$

Из этого равенства выразим $x, y, z$ через $t$:

$x = 2t - 1$

$y = t + 2$

$z = -t + 1$

Теперь подставим полученные выражения для координат в уравнение плоскости:

$3(2t - 1) - 2(t + 2) + (-t + 1) - 3 = 0$

Решим это уравнение относительно $t$:

$6t - 3 - 2t - 4 - t + 1 - 3 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(6 - 2 - 1)t + (-3 - 4 + 1 - 3) = 0$

$3t - 9 = 0$

$3t = 9$

$t = 3$

Мы нашли значение параметра $t$, при котором прямая пересекает плоскость. Чтобы найти координаты точки пересечения, подставим $t=3$ обратно в параметрические уравнения прямой:

$x = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5$

$y = 3 + 2 = 5$

$z = -3 + 1 = -2$

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости имеет координаты $(5, 5, -2)$.

Ответ: $(5, 5, -2)$

2) В этом случае уравнение прямой уже задано в параметрическом виде:

$x = 2t, y = 1 + t, z = 2t - 1$

Уравнение плоскости: $x + 2y + 3z - 5 = 0$.

Чтобы найти точку пересечения, подставим выражения для $x, y, z$ из уравнений прямой в уравнение плоскости:

$(2t) + 2(1 + t) + 3(2t - 1) - 5 = 0$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $t$:

$2t + 2 + 2t + 6t - 3 - 5 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(2 + 2 + 6)t + (2 - 3 - 5) = 0$

$10t - 6 = 0$

$10t = 6$

$t = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

Теперь, зная значение параметра $t$ в точке пересечения, найдем ее координаты, подставив $t = \frac{3}{5}$ в параметрические уравнения прямой:

$x = 2 \cdot (\frac{3}{5}) = \frac{6}{5}$

$y = 1 + \frac{3}{5} = \frac{5}{5} + \frac{3}{5} = \frac{8}{5}$

$z = 2 \cdot (\frac{3}{5}) - 1 = \frac{6}{5} - \frac{5}{5} = \frac{1}{5}$

Следовательно, искомая точка пересечения имеет координаты $(\frac{6}{5}, \frac{8}{5}, \frac{1}{5})$.

Ответ: $(\frac{6}{5}, \frac{8}{5}, \frac{1}{5})$