Номер 2.27, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.27. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости $3x - 2y + z - 3 = 0$.

1) M(1; 2; 3);

2) M(2; 0; -2);

3) M(4; -3; 1);

4) M(3; 1; 1).

Для нахождения уравнения плоскости $\pi_2$, проходящей через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ и перпендикулярной плоскости $\pi_1: 3x - 2y + z - 3 = 0$, необходимо найти ее нормальный вектор $\vec{n_2} = (A, B, C)$. Нормальный вектор к плоскости $\pi_1$ есть $\vec{n_1} = (3, -2, 1)$.

Условие перпендикулярности плоскостей $\pi_1$ и $\pi_2$ означает ортогональность их нормальных векторов: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$. Это дает одно уравнение: $3A - 2B + C = 0$. Данное условие определяет не одну плоскость, а целый пучок плоскостей, вращающихся вокруг прямой, которая проходит через точку $M$ и параллельна вектору $\vec{n_1}$.

Чтобы получить единственное решение, необходимо дополнительное, не указанное в условии, предположение. В стандартных задачах такого типа часто подразумевается, что искомая плоскость также проходит через начало координат $O(0, 0, 0)$, если не указано иное. Это означает, что вектор $\vec{OM} = (x_0, y_0, z_0)$ лежит в искомой плоскости, и, следовательно, ее нормальный вектор $\vec{n_2}$ должен быть ему перпендикулярен: $\vec{n_2} \cdot \vec{OM} = 0$.

Таким образом, вектор $\vec{n_2}$ перпендикулярен двум неколлинеарным векторам: $\vec{n_1}$ и $\vec{OM}$. Следовательно, в качестве $\vec{n_2}$ можно взять их векторное произведение: $\vec{n_2} = [\vec{n_1}, \vec{OM}]$. Уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ с нормальным вектором $\vec{n_2}=(A, B, C)$, имеет вид: $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$.

1) Для точки $M(1; 2; 3)$, вектор положения $\vec{OM} = (1; 2; 3)$. Найдем нормальный вектор искомой плоскости $\vec{n_2}$ как векторное произведение $\vec{n_2} = [\vec{n_1}, \vec{OM}] = [(3; -2; 1), (1; 2; 3)]$.

Координаты вектора $\vec{n_2}=(A; B; C)$:

$A = (-2)(3) - (1)(2) = -6 - 2 = -8$

$B = (1)(1) - (3)(3) = 1 - 9 = -8$

$C = (3)(2) - (-2)(1) = 6 + 2 = 8$

Получаем $\vec{n_2} = (-8; -8; 8)$. Можно использовать коллинеарный вектор, разделив все координаты на -8: $\vec{n'_2} = (1; 1; -1)$.

Уравнение плоскости: $1(x - 1) + 1(y - 2) - 1(z - 3) = 0$.

$x - 1 + y - 2 - z + 3 = 0$

$x + y - z = 0$.

Ответ: $x + y - z = 0$.

2) Для точки $M(2; 0; -2)$, вектор положения $\vec{OM} = (2; 0; -2)$. Найдем нормальный вектор $\vec{n_2} = [\vec{n_1}, \vec{OM}] = [(3; -2; 1), (2; 0; -2)]$.

Координаты вектора $\vec{n_2}=(A; B; C)$:

$A = (-2)(-2) - (1)(0) = 4 - 0 = 4$

$B = (1)(2) - (3)(-2) = 2 + 6 = 8$

$C = (3)(0) - (-2)(2) = 0 + 4 = 4$

Получаем $\vec{n_2} = (4; 8; 4)$. Используем коллинеарный вектор, разделив координаты на 4: $\vec{n'_2} = (1; 2; 1)$.

Уравнение плоскости: $1(x - 2) + 2(y - 0) + 1(z - (-2)) = 0$.

$x - 2 + 2y + z + 2 = 0$

$x + 2y + z = 0$.

Ответ: $x + 2y + z = 0$.

3) Для точки $M(4; -3; 1)$, вектор положения $\vec{OM} = (4; -3; 1)$. Найдем нормальный вектор $\vec{n_2} = [\vec{n_1}, \vec{OM}] = [(3; -2; 1), (4; -3; 1)]$.

Координаты вектора $\vec{n_2}=(A; B; C)$:

$A = (-2)(1) - (1)(-3) = -2 + 3 = 1$

$B = (1)(4) - (3)(1) = 4 - 3 = 1$

$C = (3)(-3) - (-2)(4) = -9 + 8 = -1$

Получаем $\vec{n_2} = (1; 1; -1)$.

Уравнение плоскости: $1(x - 4) + 1(y - (-3)) - 1(z - 1) = 0$.

$x - 4 + y + 3 - z + 1 = 0$

$x + y - z = 0$.

Ответ: $x + y - z = 0$.

4) Для точки $M(3; 1; 1)$, вектор положения $\vec{OM} = (3; 1; 1)$. Найдем нормальный вектор $\vec{n_2} = [\vec{n_1}, \vec{OM}] = [(3; -2; 1), (3; 1; 1)]$.

Координаты вектора $\vec{n_2}=(A; B; C)$:

$A = (-2)(1) - (1)(1) = -2 - 1 = -3$

$B = (1)(3) - (3)(1) = 3 - 3 = 0$

$C = (3)(1) - (-2)(3) = 3 + 6 = 9$

Получаем $\vec{n_2} = (-3; 0; 9)$. Используем коллинеарный вектор, разделив координаты на -3: $\vec{n'_2} = (1; 0; -3)$.

Уравнение плоскости: $1(x - 3) + 0(y - 1) - 3(z - 1) = 0$.

$x - 3 - 3z + 3 = 0$

$x - 3z = 0$.

Ответ: $x - 3z = 0$.