Номер 2.33, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.33. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $M(3; 0; 1)$ перпендикулярно плоскости, заданной в предыдущей задаче.

Для решения задачи требуется уравнение плоскости, заданной в предыдущей задаче. Поскольку оно не приведено, мы сделаем разумное предположение о содержании задачи 2.32. Обычно такие задачи идут в паре, и в предыдущей задаче требуется найти уравнение плоскости по трем точкам. Предположим, что в задаче 2.32 была дана плоскость, проходящая через точки $M_1(1; -1; 2)$, $M_2(0; 3; -1)$ и $M_3(2; -2; 2)$. Найдем ее уравнение.

Сначала определим два вектора, лежащие в этой плоскости, например, $\vec{M_1M_2}$ и $\vec{M_1M_3}$:

$\vec{M_1M_2} = (0-1; 3-(-1); -1-2) = (-1; 4; -3)$

$\vec{M_1M_3} = (2-1; -2-(-1); 2-2) = (1; -1; 0)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости перпендикулярен этим векторам, и его можно найти через их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{M_1M_2} \times \vec{M_1M_3} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 4 & -3 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(4 \cdot 0 - (-3) \cdot (-1)) - \vec{j}(-1 \cdot 0 - (-3) \cdot 1) + \vec{k}(-1 \cdot (-1) - 4 \cdot 1) = -3\vec{i} - 3\vec{j} - 3\vec{k}$

Таким образом, вектор нормали $\vec{n} = (-3; -3; -3)$. Для упрощения можно использовать коллинеарный ему вектор, например, $\vec{n'} = (1; 1; 1)$, полученный делением на -3.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $M_1(1; -1; 2)$ с вектором нормали $\vec{n'} = (1; 1; 1)$, записывается по формуле $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$:

$1(x-1) + 1(y-(-1)) + 1(z-2) = 0$

$x-1 + y+1 + z-2 = 0$

В итоге уравнение плоскости: $x+y+z-2 = 0$.

Теперь перейдем к основной задаче: напишем уравнение прямой, которая проходит через точку $M(3; 0; 1)$ и перпендикулярна найденной плоскости $x+y+z-2=0$.

По определению, направляющий вектор $\vec{s}$ прямой, перпендикулярной к плоскости, коллинеарен вектору нормали $\vec{n}$ этой плоскости. Вектор нормали нашей плоскости — $\vec{n} = (1; 1; 1)$. Примем его в качестве направляющего вектора прямой: $\vec{s} = (1; 1; 1)$.

Используем каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ с направляющим вектором $\vec{s}=(l; m; n)$:

$\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}$

Подставив координаты точки $M(3; 0; 1)$ и направляющего вектора $\vec{s}=(1; 1; 1)$, получаем:

$\frac{x-3}{1} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-1}{1}$

Это уравнение можно также записать в виде $x-3 = y = z-1$.

Ответ: $\frac{x-3}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z-1}{1}$.