Номер 2.36, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.36. Определите взаимное расположение прямой и плоскости. В случае их пересечения найдите точку пересечения.

1) $x = -1 + 2t, y = 3 + 4t, z = 3t$ и $2x - 2y + z - 5 = 0;$

2) $\frac{x-13}{8} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-4}{3}$ и $2x - y - 3z + 5 = 0;$

3) $\begin{cases} x = 5y-13, \\ 4y-z-11=0 \end{cases}$ и $3x - y + 2z - 5 = 0;$

4) $\frac{x-3}{8} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-5}{3}$ и $2x + 3y - z + 1 = 0.$

1) Дана прямая с параметрическими уравнениями $x = -1 + 2t$, $y = 3 + 4t$, $z = 3t$ и плоскость с уравнением $2x - 2y + z - 5 = 0$.

Направляющий вектор прямой $\vec{s} = (2, 4, 3)$. Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = (2, -2, 1)$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$, чтобы определить их взаимное расположение:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = 2 \cdot 2 + 4 \cdot (-2) + 3 \cdot 1 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Так как скалярное произведение не равно нулю ($\vec{s} \cdot \vec{n} \neq 0$), прямая пересекает плоскость в одной точке.

Чтобы найти точку пересечения, подставим выражения для $x, y, z$ из уравнений прямой в уравнение плоскости:

$2(-1 + 2t) - 2(3 + 4t) + (3t) - 5 = 0$

$-2 + 4t - 6 - 8t + 3t - 5 = 0$

$(4 - 8 + 3)t - 13 = 0$

$-t - 13 = 0 \implies t = -13$.

Подставим найденное значение $t = -13$ обратно в параметрические уравнения прямой:

$x = -1 + 2(-13) = -1 - 26 = -27$

$y = 3 + 4(-13) = 3 - 52 = -49$

$z = 3(-13) = -39$

Следовательно, точка пересечения имеет координаты $M(-27, -49, -39)$.

Ответ: прямая и плоскость пересекаются в точке $M(-27, -49, -39)$.

2) Дана прямая с каноническими уравнениями $\frac{x-13}{8} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-4}{3}$ и плоскость с уравнением $2x - y - 3z + 5 = 0$.

Направляющий вектор прямой $\vec{s} = (8, 2, 3)$. Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = (2, -1, -3)$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = 8 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot (-3) = 16 - 2 - 9 = 5$.

Так как скалярное произведение не равно нулю ($\vec{s} \cdot \vec{n} \neq 0$), прямая пересекает плоскость в одной точке.

Запишем параметрические уравнения прямой, приравняв канонические уравнения к параметру $t$:

$\frac{x-13}{8} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-4}{3} = t \implies \begin{cases} x = 13 + 8t \\ y = 1 + 2t \\ z = 4 + 3t \end{cases}$

Подставим эти выражения в уравнение плоскости:

$2(13 + 8t) - (1 + 2t) - 3(4 + 3t) + 5 = 0$

$26 + 16t - 1 - 2t - 12 - 9t + 5 = 0$

$(16 - 2 - 9)t + (26 - 1 - 12 + 5) = 0$

$5t + 18 = 0 \implies t = -\frac{18}{5}$.

Подставим значение $t = -18/5$ в параметрические уравнения прямой:

$x = 13 + 8(-\frac{18}{5}) = \frac{65 - 144}{5} = -\frac{79}{5}$

$y = 1 + 2(-\frac{18}{5}) = \frac{5 - 36}{5} = -\frac{31}{5}$

$z = 4 + 3(-\frac{18}{5}) = \frac{20 - 54}{5} = -\frac{34}{5}$

Следовательно, точка пересечения имеет координаты $M(-\frac{79}{5}, -\frac{31}{5}, -\frac{34}{5})$.

Ответ: прямая и плоскость пересекаются в точке $M(-\frac{79}{5}, -\frac{31}{5}, -\frac{34}{5})$.

3) Прямая задана как линия пересечения двух плоскостей: $\begin{cases} x = 5y - 13 \\ 4y - z - 11 = 0 \end{cases}$. Дана плоскость $3x - y + 2z - 5 = 0$.

Сначала приведем уравнения прямой к параметрическому виду. Для этого примем $y$ в качестве параметра $t$, то есть $y = t$.

Из первого уравнения системы: $x = 5t - 13$.

Из второго уравнения системы: $z = 4y - 11 = 4t - 11$.

Таким образом, параметрические уравнения прямой: $\begin{cases} x = -13 + 5t \\ y = t \\ z = -11 + 4t \end{cases}$.

Направляющий вектор прямой $\vec{s} = (5, 1, 4)$. Вектор нормали к данной плоскости $\vec{n} = (3, -1, 2)$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = 5 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) + 4 \cdot 2 = 15 - 1 + 8 = 22$.

Так как скалярное произведение не равно нулю, прямая пересекает плоскость в одной точке.

Подставим параметрические выражения для координат в уравнение плоскости $3x - y + 2z - 5 = 0$:

$3(-13 + 5t) - t + 2(-11 + 4t) - 5 = 0$

$-39 + 15t - t - 22 + 8t - 5 = 0$

$(15 - 1 + 8)t + (-39 - 22 - 5) = 0$

$22t - 66 = 0 \implies t = 3$.

Подставим значение $t = 3$ в параметрические уравнения прямой:

$x = -13 + 5(3) = -13 + 15 = 2$

$y = 3$

$z = -11 + 4(3) = -11 + 12 = 1$

Следовательно, точка пересечения имеет координаты $M(2, 3, 1)$.

Ответ: прямая и плоскость пересекаются в точке $M(2, 3, 1)$.

4) Дана прямая с каноническими уравнениями $\frac{x-3}{8} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-5}{3}$ и плоскость с уравнением $2x + 3y - z + 1 = 0$.

Направляющий вектор прямой $\vec{s} = (8, 2, 3)$. Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = (2, 3, -1)$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = 8 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot (-1) = 16 + 6 - 3 = 19$.

Так как скалярное произведение не равно нулю, прямая пересекает плоскость в одной точке.

Запишем параметрические уравнения прямой:

$\frac{x-3}{8} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-5}{3} = t \implies \begin{cases} x = 3 + 8t \\ y = 2 + 2t \\ z = 5 + 3t \end{cases}$

Подставим эти выражения в уравнение плоскости:

$2(3 + 8t) + 3(2 + 2t) - (5 + 3t) + 1 = 0$

$6 + 16t + 6 + 6t - 5 - 3t + 1 = 0$

$(16 + 6 - 3)t + (6 + 6 - 5 + 1) = 0$

$19t + 8 = 0 \implies t = -\frac{8}{19}$.

Подставим значение $t = -8/19$ в параметрические уравнения прямой:

$x = 3 + 8(-\frac{8}{19}) = \frac{57 - 64}{19} = -\frac{7}{19}$

$y = 2 + 2(-\frac{8}{19}) = \frac{38 - 16}{19} = \frac{22}{19}$

$z = 5 + 3(-\frac{8}{19}) = \frac{95 - 24}{19} = \frac{71}{19}$

Следовательно, точка пересечения имеет координаты $M(-\frac{7}{19}, \frac{22}{19}, \frac{71}{19})$.

Ответ: прямая и плоскость пересекаются в точке $M(-\frac{7}{19}, \frac{22}{19}, \frac{71}{19})$.