Номер 2.31, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.31. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку $M(3; 1; 1)$ параллельно данной прямой:

1) $\frac{x-3}{8} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-5}{3}$;

2) $x = 2 - t, y = 15 + 2t, z = 3t - 5$;

3) $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z}{3}$;

4) $x = 7 + 5t, y = 4 + t, z = 5 + 4t$.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно другой прямой, необходимо использовать направляющий вектор данной прямой. Две параллельные прямые имеют коллинеарные (в частности, одинаковые) направляющие векторы. Искомая прямая во всех случаях проходит через точку $M(3; 1; 1)$.

1) Дана прямая в канонической форме: $\frac{x-3}{8} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-5}{3}$. Направляющий вектор этой прямой определяется по числам в знаменателях: $\vec{s} = (8; 2; 3)$.

Искомая прямая параллельна данной, следовательно, у нее будет такой же направляющий вектор. Уравнение прямой, проходящей через точку $M(3; 1; 1)$ с направляющим вектором $\vec{s} = (8; 2; 3)$, записывается в канонической форме как:

$\frac{x-3}{8} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3}$

Ответ: $\frac{x-3}{8} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3}$.

2) Дана прямая в параметрической форме: $x = 2 - t, y = 15 + 2t, z = 3t - 5$. Направляющий вектор этой прямой определяется по коэффициентам при параметре $t$: $\vec{s} = (-1; 2; 3)$.

Искомая прямая параллельна данной, значит, ее направляющий вектор также $\vec{s} = (-1; 2; 3)$. Параметрические уравнения прямой, проходящей через точку $M(3; 1; 1)$ с этим направляющим вектором, имеют вид:

$x = 3 + (-1)t = 3 - t$

$y = 1 + 2t$

$z = 1 + 3t$

Ответ: $x = 3 - t, y = 1 + 2t, z = 1 + 3t$.

3) Дана прямая в канонической форме: $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z}{3}$. Направляющий вектор этой прямой: $\vec{s} = (2; 4; 3)$.

Поскольку искомая прямая параллельна данной, ее направляющий вектор будет таким же. Запишем каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $M(3; 1; 1)$ с направляющим вектором $\vec{s} = (2; 4; 3)$:

$\frac{x-3}{2} = \frac{y-1}{4} = \frac{z-1}{3}$

Ответ: $\frac{x-3}{2} = \frac{y-1}{4} = \frac{z-1}{3}$.

4) Дана прямая в параметрической форме: $x = 7 + 5t, y = 4 + t, z = 5 + 4t$. Направляющий вектор этой прямой определяется по коэффициентам при $t$: $\vec{s} = (5; 1; 4)$.

Искомая прямая параллельна данной, поэтому ее направляющий вектор $\vec{s} = (5; 1; 4)$. Параметрические уравнения для прямой, проходящей через точку $M(3; 1; 1)$ с этим вектором, будут:

$x = 3 + 5t$

$y = 1 + 1t = 1 + t$

$z = 1 + 4t$

Ответ: $x = 3 + 5t, y = 1 + t, z = 1 + 4t$.