Номер 2.38, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.38. Найдите проекцию точки $M_0(1; 0; 1)$ на прямой:

1) $\frac{x-3}{8} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-5}{3};$

2) $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z}{3};$

3) $x = 2 - t, y = 15 + 2t, z = 3t - 5;$

4) $\begin{cases} x-2y+3=0, \\ 3y+z-2=0. \end{cases}$

Проекцией точки $M_0$ на прямую $L$ является основание перпендикуляра, опущенного из точки $M_0$ на эту прямую. Это точка $P$, которая одновременно лежит на прямой $L$ и на плоскости $\Pi$, проходящей через точку $M_0$ и перпендикулярной прямой $L$. Таким образом, алгоритм решения для каждого случая следующий:

1. Находим направляющий вектор $\vec{s}$ прямой $L$.

2. Составляем уравнение плоскости $\Pi$, проходящей через точку $M_0(1; 0; 1)$ перпендикулярно прямой $L$. Нормальный вектор этой плоскости $\vec{n}$ совпадает с направляющим вектором прямой $\vec{s}$.

3. Находим точку пересечения $P$ прямой $L$ и плоскости $\Pi$. Эта точка и будет искомой проекцией.

1) Дана прямая $L_1$: $\frac{x-3}{8} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-5}{3}$.

Направляющий вектор этой прямой: $\vec{s_1} = (8; 2; 3)$.

Составим уравнение плоскости $\Pi_1$, проходящей через точку $M_0(1; 0; 1)$ с нормальным вектором $\vec{n_1} = \vec{s_1} = (8; 2; 3)$:

$8(x - 1) + 2(y - 0) + 3(z - 1) = 0$

$8x - 8 + 2y + 3z - 3 = 0$

$8x + 2y + 3z - 11 = 0$

Для нахождения точки пересечения запишем параметрические уравнения прямой $L_1$:

$\frac{x-3}{8} = \frac{y-2}{2} = \frac{z-5}{3} = t$

$x = 3 + 8t$, $y = 2 + 2t$, $z = 5 + 3t$.

Подставим эти выражения в уравнение плоскости $\Pi_1$:

$8(3 + 8t) + 2(2 + 2t) + 3(5 + 3t) - 11 = 0$

$24 + 64t + 4 + 4t + 15 + 9t - 11 = 0$

$77t + 32 = 0$

$t = -\frac{32}{77}$

Теперь подставим найденное значение параметра $t$ в параметрические уравнения прямой, чтобы найти координаты проекции $P_1$:

$x_1 = 3 + 8(-\frac{32}{77}) = \frac{231}{77} - \frac{256}{77} = -\frac{25}{77}$

$y_1 = 2 + 2(-\frac{32}{77}) = \frac{154}{77} - \frac{64}{77} = \frac{90}{77}$

$z_1 = 5 + 3(-\frac{32}{77}) = \frac{385}{77} - \frac{96}{77} = \frac{289}{77}$

Ответ: $(-\frac{25}{77}; \frac{90}{77}; \frac{289}{77})$

2) Дана прямая $L_2$: $\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z}{3}$.

Направляющий вектор этой прямой: $\vec{s_2} = (2; 4; 3)$.

Составим уравнение плоскости $\Pi_2$, проходящей через точку $M_0(1; 0; 1)$ с нормальным вектором $\vec{n_2} = \vec{s_2} = (2; 4; 3)$:

$2(x - 1) + 4(y - 0) + 3(z - 1) = 0$

$2x - 2 + 4y + 3z - 3 = 0$

$2x + 4y + 3z - 5 = 0$

Параметрические уравнения прямой $L_2$:

$x = -1 + 2t$, $y = 3 + 4t$, $z = 3t$.

Подставим эти выражения в уравнение плоскости $\Pi_2$:

$2(-1 + 2t) + 4(3 + 4t) + 3(3t) - 5 = 0$

$-2 + 4t + 12 + 16t + 9t - 5 = 0$

$29t + 5 = 0$

$t = -\frac{5}{29}$

Найдем координаты проекции $P_2$:

$x_2 = -1 + 2(-\frac{5}{29}) = -\frac{29}{29} - \frac{10}{29} = -\frac{39}{29}$

$y_2 = 3 + 4(-\frac{5}{29}) = \frac{87}{29} - \frac{20}{29} = \frac{67}{29}$

$z_2 = 3(-\frac{5}{29}) = -\frac{15}{29}$

Ответ: $(-\frac{39}{29}; \frac{67}{29}; -\frac{15}{29})$

3) Дана прямая $L_3$ в параметрическом виде: $x = 2 - t, y = 15 + 2t, z = -5 + 3t$.

Направляющий вектор этой прямой: $\vec{s_3} = (-1; 2; 3)$.

Составим уравнение плоскости $\Pi_3$, проходящей через точку $M_0(1; 0; 1)$ с нормальным вектором $\vec{n_3} = \vec{s_3} = (-1; 2; 3)$:

$-1(x - 1) + 2(y - 0) + 3(z - 1) = 0$

$-x + 1 + 2y + 3z - 3 = 0$

$-x + 2y + 3z - 2 = 0$

Подставим параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости:

$-(2 - t) + 2(15 + 2t) + 3(-5 + 3t) - 2 = 0$

$-2 + t + 30 + 4t - 15 + 9t - 2 = 0$

$14t + 11 = 0$

$t = -\frac{11}{14}$

Найдем координаты проекции $P_3$:

$x_3 = 2 - (-\frac{11}{14}) = \frac{28}{14} + \frac{11}{14} = \frac{39}{14}$

$y_3 = 15 + 2(-\frac{11}{14}) = 15 - \frac{11}{7} = \frac{105}{7} - \frac{11}{7} = \frac{94}{7}$

$z_3 = -5 + 3(-\frac{11}{14}) = -\frac{70}{14} - \frac{33}{14} = -\frac{103}{14}$

Ответ: $(\frac{39}{14}; \frac{94}{7}; -\frac{103}{14})$

4) Дана прямая $L_4$ как пересечение двух плоскостей:

$\begin{cases} x - 2y + 3 = 0 \\ 3y + z - 2 = 0 \end{cases}$

Нормальные векторы этих плоскостей: $\vec{n}_{4a} = (1; -2; 0)$ и $\vec{n}_{4b} = (0; 3; 1)$.

Направляющий вектор прямой $L_4$ перпендикулярен обоим нормальным векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{s_4} = \vec{n}_{4a} \times \vec{n}_{4b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2 - 0) - \mathbf{j}(1 - 0) + \mathbf{k}(3 - 0) = (-2; -1; 3)$.

Составим уравнение плоскости $\Pi_4$, проходящей через точку $M_0(1; 0; 1)$ с нормальным вектором $\vec{n_4} = \vec{s_4} = (-2; -1; 3)$:

$-2(x - 1) - 1(y - 0) + 3(z - 1) = 0$

$-2x + 2 - y + 3z - 3 = 0$

$-2x - y + 3z - 1 = 0$ или $2x + y - 3z + 1 = 0$.

Проекция $P_4$ является точкой пересечения трех плоскостей. Ее координаты можно найти, решив систему уравнений:

$\begin{cases} x - 2y + 3 = 0 \\ 3y + z - 2 = 0 \\ 2x + y - 3z + 1 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 2y - 3$.

Из второго уравнения выразим $z$: $z = 2 - 3y$.

Подставим $x$ и $z$ в третье уравнение:

$2(2y - 3) + y - 3(2 - 3y) + 1 = 0$

$4y - 6 + y - 6 + 9y + 1 = 0$

$14y - 11 = 0 \Rightarrow y = \frac{11}{14}$

Теперь найдем $x$ и $z$:

$x_4 = 2(\frac{11}{14}) - 3 = \frac{11}{7} - \frac{21}{7} = -\frac{10}{7}$

$z_4 = 2 - 3(\frac{11}{14}) = \frac{28}{14} - \frac{33}{14} = -\frac{5}{14}$

Ответ: $(-\frac{10}{7}; \frac{11}{14}; -\frac{5}{14})$