Номер 2.43, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.43. Даны уравнения трех граней пирамиды, имеющие общую вершину: $x - 2y + 3 = 0$, $3y + z - 1 = 0$, $2x + y - z - 1 = 0$. Найдите координаты этой вершины пирамиды.

Поскольку три грани пирамиды имеют общую вершину, координаты этой вершины $ (x, y, z) $ должны одновременно удовлетворять уравнениям всех трех плоскостей, образующих эти грани. Таким образом, для нахождения координат вершины необходимо решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

$ \begin{cases} x - 2y + 3 = 0 & \text{(1)} \\ 3y + z - 1 = 0 & \text{(2)} \\ 2x + y - z - 1 = 0 & \text{(3)} \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из уравнения (1) выразим переменную x через y:

$x = 2y - 3$

Из уравнения (2) выразим переменную z через y:

$z = 1 - 3y$

Теперь подставим полученные выражения для x и z в уравнение (3):

$2(2y - 3) + y - (1 - 3y) - 1 = 0$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно y:

$4y - 6 + y - 1 + 3y - 1 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$(4y + y + 3y) + (-6 - 1 - 1) = 0$

$8y - 8 = 0$

$8y = 8$

$y = 1$

Теперь, зная значение y, найдем соответствующие значения x и z, подставив $y = 1$ в выражения, полученные ранее:

$x = 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$

$z = 1 - 3(1) = 1 - 3 = -2$

Таким образом, координаты общей вершины пирамиды: $(-1, 1, -2)$.

Ответ: $(-1, 1, -2)$.