Работа в группе, страница 76 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Подумайте, что вы понимаете под расстоянием от точки до плоскости. Для ответа на вопрос вспомните понятие основания перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость и сформулируйте определение расстояния от точки до плоскости, составьте алгоритм нахождения этого расстояния.

Под расстоянием от точки до плоскости интуитивно понимают кратчайший путь от этой точки до любой точки на плоскости. Чтобы дать строгое определение, необходимо рассмотреть связанные понятия, в первую очередь — понятие перпендикуляра.

Пусть дана точка $M$, не лежащая в плоскости $\alpha$.

• Перпендикуляром, опущенным из точки $M$ на плоскость $\alpha$, называется отрезок $MH$, где $H$ — точка на плоскости $\alpha$, а прямая, содержащая отрезок $MH$, перпендикулярна плоскости $\alpha$.
• Точка $H$ называется основанием перпендикуляра.
• Наклонной, проведенной из точки $M$ к плоскости $\alpha$, называется любой отрезок $MK$, соединяющий точку $M$ с точкой $K$ на плоскости $\alpha$, причем $K$ не совпадает с $H$.
• Отрезок $HK$ называется проекцией наклонной $MK$ на плоскость $\alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MHK$. В нем угол $\angle H = 90^\circ$, поскольку прямая $MH$ перпендикулярна всей плоскости $\alpha$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $H$. В любом прямоугольном треугольнике гипотенуза ($MK$) всегда длиннее катета ($MH$). Следовательно, длина перпендикуляра $MH$ — это наименьшее из всех возможных расстояний от точки $M$ до точек плоскости $\alpha$.

Определение расстояния от точки до плоскости

Исходя из вышесказанного, можно сформулировать следующее определение.

Расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Ответ: Расстоянием от точки до плоскости является длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости.

Алгоритм нахождения этого расстояния

Существует два основных метода для нахождения расстояния от точки до плоскости: геометрический и координатный.

1. Геометрический метод

Этот метод основан на пространственных построениях и решении планиметрических задач в различных плоскостях.

1. Определить или построить удобный прямоугольный треугольник, одним из катетов которого является искомое расстояние (перпендикуляр).
2. Найти длины двух других сторон этого треугольника (чаще всего это наклонная, проведенная из точки к плоскости, и ее проекция на эту плоскость), используя данные задачи (теорему Пифагора, свойства фигур, тригонометрические соотношения).
3. Вычислить длину искомого перпендикуляра с помощью теоремы Пифагора или тригонометрических функций. Например, если известны длина наклонной $L$ и ее проекции $p$, то расстояние $d$ находится как $d = \sqrt{L^2 - p^2}$.

2. Координатный метод

Этот метод является универсальным и сводит геометрическую задачу к алгебраическим вычислениям.

1. Ввести в пространстве прямоугольную (декартову) систему координат $Oxyz$.
2. Определить координаты данной точки $M(x_0, y_0, z_0)$.
3. Составить общее уравнение плоскости $\alpha$ в виде $Ax + By + Cz + D = 0$. Для этого может потребоваться найти координаты трех точек плоскости или вектор нормали $\vec{n} = (A, B, C)$.
4. Подставить полученные значения в формулу для вычисления расстояния $d$ от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

   $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

5. Провести вычисления и получить искомое расстояние.

Ответ: Для нахождения расстояния можно использовать геометрический метод, сведя задачу к нахождению катета в прямоугольном треугольнике, или координатный метод, применив формулу расстояния от точки с координатами $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.