Работа в группе, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Подумайте, как можно определить расстояние от точки до прямой, сформулируйте алгоритм нахождения расстояния от точки до прямой. Опираясь на выработанные вами предложения, выполните следующее задание: найдите расстояние от точки А(1; 2; 3) до прямой, заданной нижеследующим уравнением.

Задание 1 $ \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z}{1} $

Задание 2 $ x = 5 - t, y = 5 + 2t, z = 2 + 3t $

Задание 3 $ \begin{cases} x + 2y + 3 = 0, \\ 3y + z = 0; \end{cases} $

Задание 4 $ \frac{x+1}{4} = \frac{y-3}{-6} = \frac{z-2}{-2} $

Задание 5 $ x = 6 + t, y = 3 - 2t, z = -1 - 3t $

Задание 6 $ \begin{cases} x - 2y + z - 3 = 0, \\ 2x - 4y + 2z + 7 = 0 \end{cases} $ газдел 2

Итак, расстоянием от точки А, расположенной вне прямой l, до этой прямой называется расстояние от точки А до основания перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую l.

Для нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве используется следующий алгоритм:

1. Определить координаты данной точки $A(x_A; y_A; z_A)$.
2. Из уравнения прямой найти любую точку на прямой $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и направляющий вектор прямой $\vec{s}(l; m; n)$.
3. Найти координаты вектора $\vec{M_0A} = (x_A - x_0; y_A - y_0; z_A - z_0)$.
4. Вычислить векторное произведение векторов $\vec{M_0A}$ и $\vec{s}$.
5. Найти модули (длины) векторов $\vec{M_0A} \times \vec{s}$ и $\vec{s}$.
6. Вычислить расстояние $d$ по формуле: $d = \frac{|\vec{M_0A} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}$.

Во всех заданиях дана точка $A(1; 2; 3)$.

Задание 1

Прямая задана каноническим уравнением $\frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z}{1}$.

Из уравнения находим точку на прямой $M_0(1; -1; 0)$ и направляющий вектор $\vec{s}(2; 3; 1)$.

Находим вектор $\vec{M_0A}$: $\vec{M_0A} = (1-1; 2-(-1); 3-0) = (0; 3; 3)$.

Вычисляем векторное произведение $\vec{M_0A} \times \vec{s}$:

$\vec{M_0A} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 1 - 3 \cdot 3) - \vec{j}(0 \cdot 1 - 3 \cdot 2) + \vec{k}(0 \cdot 3 - 3 \cdot 2) = -6\vec{i} + 6\vec{j} - 6\vec{k} = (-6; 6; -6)$.

Находим модули векторов:

$|\vec{M_0A} \times \vec{s}| = \sqrt{(-6)^2 + 6^2 + (-6)^2} = \sqrt{36+36+36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}$.

$|\vec{s}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4+9+1} = \sqrt{14}$.

Вычисляем расстояние:

$d = \frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{14}} = \frac{6\sqrt{42}}{14} = \frac{3\sqrt{42}}{7}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{42}}{7}$.

Задание 2

Прямая задана параметрическими уравнениями $x = 5-t, y = 5+2t, z = 2+3t$.

Из уравнений находим точку на прямой $M_0(5; 5; 2)$ (при $t=0$) и направляющий вектор $\vec{s}(-1; 2; 3)$.

Находим вектор $\vec{M_0A}$: $\vec{M_0A} = (1-5; 2-5; 3-2) = (-4; -3; 1)$.

Вычисляем векторное произведение $\vec{M_0A} \times \vec{s}$:

$\vec{M_0A} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & -3 & 1 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(-3 \cdot 3 - 1 \cdot 2) - \vec{j}(-4 \cdot 3 - 1 \cdot (-1)) + \vec{k}(-4 \cdot 2 - (-3) \cdot (-1)) = -11\vec{i} + 11\vec{j} - 11\vec{k} = (-11; 11; -11)$.

Находим модули векторов:

$|\vec{M_0A} \times \vec{s}| = \sqrt{(-11)^2 + 11^2 + (-11)^2} = \sqrt{121+121+121} = \sqrt{363} = 11\sqrt{3}$.

$|\vec{s}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$.

Вычисляем расстояние:

$d = \frac{11\sqrt{3}}{\sqrt{14}} = \frac{11\sqrt{42}}{14}$.

Ответ: $\frac{11\sqrt{42}}{14}$.

Задание 3

Прямая задана как пересечение двух плоскостей: $\begin{cases} x + 2y + 3 = 0 \\ 3y + z = 0 \end{cases}$.

Направляющий вектор прямой $\vec{s}$ перпендикулярен нормальным векторам плоскостей $\vec{n_1}(1; 2; 0)$ и $\vec{n_2}(0; 3; 1)$. Найдем его как их векторное произведение:

$\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2-0) - \vec{j}(1-0) + \vec{k}(3-0) = (2; -1; 3)$.

Найдем точку $M_0$ на прямой. Пусть $y=0$, тогда из уравнений системы: $x+3=0 \Rightarrow x=-3$ и $z=0$. Получаем точку $M_0(-3; 0; 0)$.

Находим вектор $\vec{M_0A}$: $\vec{M_0A} = (1-(-3); 2-0; 3-0) = (4; 2; 3)$.

Вычисляем векторное произведение $\vec{M_0A} \times \vec{s}$:

$\vec{M_0A} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 4 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(6 - (-3)) - \vec{j}(12 - 6) + \vec{k}(-4 - 4) = 9\vec{i} - 6\vec{j} - 8\vec{k} = (9; -6; -8)$.

Находим модули векторов:

$|\vec{M_0A} \times \vec{s}| = \sqrt{9^2 + (-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{81+36+64} = \sqrt{181}$.

$|\vec{s}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4+1+9} = \sqrt{14}$.

Вычисляем расстояние:

$d = \frac{\sqrt{181}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{181}{14}} = \frac{\sqrt{2534}}{14}$.

Ответ: $\sqrt{\frac{181}{14}}$.

Задание 4

Прямая задана каноническим уравнением $\frac{x+1}{4} = \frac{y-3}{-6} = \frac{z-2}{-2}$.

Из уравнения находим точку на прямой $M_0(-1; 3; 2)$ и направляющий вектор $\vec{s}(4; -6; -2)$. Можно использовать коллинеарный ему вектор $\vec{s'} = \frac{1}{2}\vec{s} = (2; -3; -1)$ для упрощения вычислений.

Находим вектор $\vec{M_0A}$: $\vec{M_0A} = (1-(-1); 2-3; 3-2) = (2; -1; 1)$.

Вычисляем векторное произведение $\vec{M_0A} \times \vec{s'}$:

$\vec{M_0A} \times \vec{s'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 - (-3)) - \vec{j}(-2 - 2) + \vec{k}(-6 - (-2)) = 4\vec{i} + 4\vec{j} - 4\vec{k} = (4; 4; -4)$.

Находим модули векторов:

$|\vec{M_0A} \times \vec{s'}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16+16+16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.

$|\vec{s'}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+9+1} = \sqrt{14}$.

Вычисляем расстояние:

$d = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{14}} = \frac{4\sqrt{42}}{14} = \frac{2\sqrt{42}}{7}$.

Ответ: $\frac{2\sqrt{42}}{7}$.

Задание 5

Прямая задана параметрическими уравнениями $x = 6+t, y = 3-2t, z = -1-3t$.

Из уравнений находим точку на прямой $M_0(6; 3; -1)$ (при $t=0$) и направляющий вектор $\vec{s}(1; -2; -3)$.

Находим вектор $\vec{M_0A}$: $\vec{M_0A} = (1-6; 2-3; 3-(-1)) = (-5; -1; 4)$.

Вычисляем векторное произведение $\vec{M_0A} \times \vec{s}$:

$\vec{M_0A} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & -1 & 4 \\ 1 & -2 & -3 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 - (-8)) - \vec{j}(15 - 4) + \vec{k}(10 - (-1)) = 11\vec{i} - 11\vec{j} + 11\vec{k} = (11; -11; 11)$.

Находим модули векторов:

$|\vec{M_0A} \times \vec{s}| = \sqrt{11^2 + (-11)^2 + 11^2} = \sqrt{121+121+121} = \sqrt{363} = 11\sqrt{3}$.

$|\vec{s}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$.

Вычисляем расстояние:

$d = \frac{11\sqrt{3}}{\sqrt{14}} = \frac{11\sqrt{42}}{14}$.

Ответ: $\frac{11\sqrt{42}}{14}$.

Задание 6

Прямая задана как пересечение двух плоскостей: $\begin{cases} x - 2y + z - 3 = 0 \\ 2x - 4y + 2z + 7 = 0 \end{cases}$.

Нормальные векторы этих плоскостей: $\vec{n_1}(1; -2; 1)$ и $\vec{n_2}(2; -4; 2)$.

Поскольку $\vec{n_2} = 2\vec{n_1}$, векторы коллинеарны, а значит, плоскости параллельны.

Преобразуем уравнения плоскостей:

$x - 2y + z = 3$

$2(x - 2y + z) = -7 \Rightarrow x - 2y + z = -3.5$

Так как $3 \neq -3.5$, плоскости параллельны и не совпадают. Следовательно, они не пересекаются, и прямая, заданная этой системой, не существует.

Ответ: Найти расстояние невозможно, так как заданные уравнения описывают две параллельные плоскости, которые не пересекаются, следовательно, прямой не существует.