Вопросы, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что вы понимаете под расстоянием от точки до прямой? Запишите и объясните алгоритм нахождения этого расстояния.

2. Что вы понимаете под расстоянием от точки до плоскости? Запишите и объясните формулу нахождения этого расстояния. Вывести эту формулу.

1. Под расстоянием от точки до прямой понимают длину перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Это наименьшее из расстояний от данной точки до любой точки, лежащей на прямой.

Для нахождения этого расстояния в пространстве используется следующий алгоритм, основанный на векторной алгебре.

Пусть дана точка $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и прямая $L$, заданная своей точкой $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и направляющим вектором $\vec{s} = \{l, m, n\}$.

Алгоритм нахождения расстояния:

1. Найти координаты вектора $\vec{M_0M_1}$, соединяющего точку на прямой $M_0$ с данной точкой $M_1$: $\vec{M_0M_1} = \{x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0\}$.
2. Вычислить векторное произведение направляющего вектора прямой $\vec{s}$ и вектора $\vec{M_0M_1}$: $\vec{s} \times \vec{M_0M_1}$.
3. Найти модуль (длину) этого векторного произведения: $|\vec{s} \times \vec{M_0M_1}|$. Геометрически этот модуль равен площади параллелограмма, построенного на векторах $\vec{s}$ и $\vec{M_0M_1}$.
4. Найти модуль (длину) направляющего вектора $\vec{s}$: $|\vec{s}| = \sqrt{l^2 + m^2 + n^2}$.
5. Разделить модуль векторного произведения на модуль направляющего вектора. Полученное значение и будет искомым расстоянием $d$.

Таким образом, формула для вычисления расстояния имеет вид:

Объяснение алгоритма: Площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{s}$ и $\vec{M_0M_1}$, с одной стороны, равна модулю их векторного произведения $|\vec{s} \times \vec{M_0M_1}|$. С другой стороны, площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на высоту. Если в качестве основания взять вектор $\vec{s}$, то его длина будет $|\vec{s}|$, а высотой, опущенной на это основание от точки $M_1$, как раз и будет искомое расстояние $d$ от точки $M_1$ до прямой. Таким образом, площадь $S = |\vec{s}| \cdot d$. Приравнивая два выражения для площади, получаем $|\vec{s} \times \vec{M_0M_1}| = |\vec{s}| \cdot d$, откуда и следует формула для расстояния.

Ответ: Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра от точки до прямой. Оно находится по формуле $d = \frac{|\vec{s} \times \vec{M_0M_1}|}{|\vec{s}|}$, где $\vec{s}$ — направляющий вектор прямой, а $\vec{M_0M_1}$ — вектор, соединяющий любую точку на прямой с данной точкой.

2. Под расстоянием от точки до плоскости понимают длину перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость. Это наименьшее из расстояний от данной точки до любой точки, лежащей на плоскости.

Пусть дана точка $M_1(x_1, y_1, z_1)$ и плоскость $\Pi$, заданная общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$. Вектор $\vec{n} = \{A, B, C\}$ является нормальным (перпендикулярным) вектором к этой плоскости.

Формула для нахождения расстояния $d$ от точки $M_1$ до плоскости $\Pi$ имеет вид:

Объяснение формулы:

• Числитель $|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|$ — это абсолютное значение результата подстановки координат точки $M_1$ в левую часть общего уравнения плоскости.
• Знаменатель $\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$ — это длина (модуль) нормального вектора $\vec{n} = \{A, B, C\}$ плоскости.

Вывод формулы:

1. Возьмем на плоскости $\Pi$ произвольную точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$. Ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости: $Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D = 0$. Отсюда можно выразить $D$: $D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$.
2. Построим вектор $\vec{M_0M_1}$, соединяющий точку $M_0$ на плоскости с данной точкой $M_1$. Его координаты: $\vec{M_0M_1} = \{x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0\}$.
3. Искомое расстояние $d$ от точки $M_1$ до плоскости $\Pi$ равно модулю проекции вектора $\vec{M_0M_1}$ на направление нормального вектора $\vec{n} = \{A, B, C\}$.
4. Модуль проекции вектора $\vec{a}$ на вектор $\vec{b}$ вычисляется по формуле: $|пр_{\vec{b}}\vec{a}| = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{b}|}$, где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов.
5. В нашем случае $\vec{a} = \vec{M_0M_1}$ и $\vec{b} = \vec{n}$. Подставим их в формулу для расстояния $d$: $$d = \frac{|\vec{M_0M_1} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$$
6. Вычислим скалярное произведение в числителе: $\vec{M_0M_1} \cdot \vec{n} = (x_1 - x_0)A + (y_1 - y_0)B + (z_1 - z_0)C = Ax_1 - Ax_0 + By_1 - By_0 + Cz_1 - Cz_0 = (Ax_1 + By_1 + Cz_1) - (Ax_0 + By_0 + Cz_0)$.
7. Используя выражение для $D$ из пункта 1, заменим $-(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$ на $D$: $\vec{M_0M_1} \cdot \vec{n} = Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D$.
8. Модуль нормального вектора в знаменателе равен: $|\vec{n}| = \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}$.
9. Подставляя найденные выражения для числителя и знаменателя в формулу для $d$ из пункта 5, получаем итоговую формулу: $$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра от точки до плоскости. Оно находится по формуле $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$, где $(x_1, y_1, z_1)$ — координаты данной точки, а $Ax + By + Cz + D = 0$ — уравнение плоскости.