Номер 2.52, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.52. Как можно найти расстояние между параллельными прямыми? В паре обсудите и напишите алгоритм нахождения этого расстояния, результаты обсудите вместе с классом. Найдите расстояние между следующими параллельными прямыми:

1) $ \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-5}{-2} $ и $ x=6 + 2t, y=5 + 3t, z=2 - 2t; $

2) $ \frac{x-2}{3} = \frac{y+2}{5} = \frac{z}{1} $ и $ \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{5} = \frac{z-5}{1} $

Расстояние между двумя параллельными прямыми в пространстве — это длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую прямую. Для нахождения этого расстояния можно использовать следующий алгоритм.

Алгоритм нахождения расстояния между параллельными прямыми:

1. Определение исходных данных. Из уравнений каждой прямой ($L_1$ и $L_2$) находим координаты по одной точке ($M_1 \in L_1$ и $M_2 \in L_2$) и их общий направляющий вектор $\vec{s}$. Так как прямые параллельны, их направляющие векторы будут коллинеарны.
2. Нахождение вектора между точками. Определяем координаты вектора $\vec{M_1M_2}$, соединяющего точки на прямых: $\vec{M_1M_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$, где $(x_1, y_1, z_1)$ — координаты $M_1$, а $(x_2, y_2, z_2)$ — координаты $M_2$.
3. Вычисление векторного произведения. Находим векторное произведение направляющего вектора $\vec{s}$ и вектора $\vec{M_1M_2}$, которое обозначается как $[\vec{s}, \vec{M_1M_2}]$ или $\vec{s} \times \vec{M_1M_2}$.
4. Вычисление модулей векторов. Находим модуль (длину) полученного в результате векторного произведения вектора $|[\vec{s}, \vec{M_1M_2}]|$ и модуль направляющего вектора $|\vec{s}|$.
5. Расчет расстояния. Расстояние $d$ между параллельными прямыми вычисляется по формуле:

   $d = \frac{|[\vec{s}, \vec{M_1M_2}]|}{|\vec{s}|}$

Геометрически эта формула соответствует нахождению высоты параллелограмма, построенного на векторах $\vec{s}$ и $\vec{M_1M_2}$. Площадь этого параллелограмма равна $|[\vec{s}, \vec{M_1M_2}]|$, а также равна произведению длины основания $|\vec{s}|$ на высоту $d$.

1) Даны две параллельные прямые:

$L_1: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-5}{-2}$

$L_2: x = 6 + 2t, y = 5 + 3t, z = 2 - 2t$

1. Из уравнения прямой $L_1$ получаем точку $M_1(1, -2, 5)$ и направляющий вектор $\vec{s} = (2, 3, -2)$.

Из уравнения прямой $L_2$ получаем точку $M_2(6, 5, 2)$. Направляющий вектор тот же, что подтверждает параллельность прямых.

2. Найдем вектор $\vec{M_1M_2}$:

$\vec{M_1M_2} = (6-1, 5-(-2), 2-5) = (5, 7, -3)$.

3. Вычислим векторное произведение $[\vec{s}, \vec{M_1M_2}]$:

$[\vec{s}, \vec{M_1M_2}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & -2 \\ 5 & 7 & -3 \end{vmatrix} = \vec{i}(3(-3) - (-2)7) - \vec{j}(2(-3) - (-2)5) + \vec{k}(2 \cdot 7 - 3 \cdot 5) = 5\vec{i} - 4\vec{j} - \vec{k} = (5, -4, -1)$.

4. Найдем модули векторов:

$|[\vec{s}, \vec{M_1M_2}]| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25+16+1} = \sqrt{42}$.

$|\vec{s}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+9+4} = \sqrt{17}$.

5. Расстояние между прямыми:

$d = \frac{|[\vec{s}, \vec{M_1M_2}]|}{|\vec{s}|} = \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{17}} = \sqrt{\frac{42}{17}}$.

Ответ: $d = \sqrt{\frac{42}{17}}$.

2) Даны две параллельные прямые:

$L_1: \frac{x-2}{3} = \frac{y+2}{5} = \frac{z}{1}$

$L_2: \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{5} = \frac{z-5}{1}$

1. Общий направляющий вектор для обеих прямых $\vec{s} = (3, 5, 1)$.

Из уравнения прямой $L_1$ возьмем точку $M_1(2, -2, 0)$.

Из уравнения прямой $L_2$ возьмем точку $M_2(1, -2, 5)$.

2. Найдем вектор $\vec{M_1M_2}$:

$\vec{M_1M_2} = (1-2, -2-(-2), 5-0) = (-1, 0, 5)$.

3. Вычислим векторное произведение $[\vec{s}, \vec{M_1M_2}]$:

$[\vec{s}, \vec{M_1M_2}] = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 5 & 1 \\ -1 & 0 & 5 \end{vmatrix} = \vec{i}(5 \cdot 5 - 1 \cdot 0) - \vec{j}(3 \cdot 5 - 1(-1)) + \vec{k}(3 \cdot 0 - 5(-1)) = 25\vec{i} - 16\vec{j} + 5\vec{k} = (25, -16, 5)$.

4. Найдем модули векторов:

$|[\vec{s}, \vec{M_1M_2}]| = \sqrt{25^2 + (-16)^2 + 5^2} = \sqrt{625+256+25} = \sqrt{906}$.

$|\vec{s}| = \sqrt{3^2 + 5^2 + 1^2} = \sqrt{9+25+1} = \sqrt{35}$.

5. Расстояние между прямыми:

$d = \frac{|[\vec{s}, \vec{M_1M_2}]|}{|\vec{s}|} = \frac{\sqrt{906}}{\sqrt{35}} = \sqrt{\frac{906}{35}}$.

Ответ: $d = \sqrt{\frac{906}{35}}$.