Номер 2.51, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.51. При каких значениях $\text{m}$ прямая $\frac{x-1}{m} = \frac{y+1}{3} = \frac{z}{1}$ параллельна плоскости $3x + 4y + 2z - 5 = 0$? Найдите расстояние между ними.

При каких значениях m прямая параллельна плоскости

Прямая параллельна плоскости, если ее направляющий вектор $\vec{s}$ ортогонален (перпендикулярен) вектору нормали плоскости $\vec{n}$. Условием ортогональности векторов является равенство нулю их скалярного произведения: $\vec{s} \cdot \vec{n} = 0$.

Из канонического уравнения прямой $\frac{x-1}{m} = \frac{y+1}{3} = \frac{z}{1}$ определяем ее направляющий вектор: $\vec{s} = \{m; 3; 1\}$.

Из общего уравнения плоскости $3x + 4y + 2z - 5 = 0$ определяем ее вектор нормали: $\vec{n} = \{3; 4; 2\}$.

Теперь вычислим скалярное произведение и приравняем его к нулю:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = m \cdot 3 + 3 \cdot 4 + 1 \cdot 2 = 0$

$3m + 12 + 2 = 0$

$3m + 14 = 0$

$m = -\frac{14}{3}$

Ответ: $m = -\frac{14}{3}$.

Найдите расстояние между ними

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью равно расстоянию от любой точки, лежащей на прямой, до этой плоскости.

Возьмем из уравнения прямой точку $M_0$. Ее координаты соответствуют значениям, которые вычитаются из переменных в числителях: $M_0(1; -1; 0)$.

Расстояние $d$ от точки $M_0(x_0; y_0; z_0)$ до плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставим координаты точки $M_0(1; -1; 0)$ и коэффициенты плоскости $3x + 4y + 2z - 5 = 0$:

$d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) + 2 \cdot 0 - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2}} = \frac{|3 - 4 - 5|}{\sqrt{9 + 16 + 4}} = \frac{|-6|}{\sqrt{29}} = \frac{6}{\sqrt{29}}$

Ответ: $\frac{6}{\sqrt{29}}$.