Номер 2.49, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.49. Найдите расстояние от точки:

1) A(2; 0; -3);

2) B(0; 3; 1);

3) C(-1; 1; 3);

4) D(-2; 1; 4) до прямой $x = 6 + t$, $y = 5 + 2t$, $z = 2 + 3t$.

Для нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве воспользуемся формулой, использующей векторное произведение. Расстояние $d$ от точки $P(x_1, y_1, z_1)$ до прямой, заданной точкой $M_0(x_0, y_0, z_0)$ и направляющим вектором $\vec{v}=(a,b,c)$, вычисляется как:

$d = \frac{|\vec{M_0P} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$

Прямая задана параметрическими уравнениями: $x = 6 + t$, $y = 5 + 2t$, $z = 2 + 3t$.

Отсюда мы можем определить точку на прямой, например, при $t=0$, $M_0(6, 5, 2)$, и направляющий вектор прямой $\vec{v}=(1, 2, 3)$.

Найдем модуль направляющего вектора:

$|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

Теперь вычислим расстояние для каждой из заданных точек.

1) A(2; 0; -3)

Найдем вектор $\vec{M_0A}$:

$\vec{M_0A} = (2-6, 0-5, -3-2) = (-4, -5, -5)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{M_0A} \times \vec{v}$:

$\vec{M_0A} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & -5 & -5 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-5) \cdot 3 - (-5) \cdot 2) - \mathbf{j}((-4) \cdot 3 - (-5) \cdot 1) + \mathbf{k}((-4) \cdot 2 - (-5) \cdot 1) = \mathbf{i}(-15+10) - \mathbf{j}(-12+5) + \mathbf{k}(-8+5) = -5\mathbf{i} + 7\mathbf{j} - 3\mathbf{k}$.

Таким образом, $\vec{M_0A} \times \vec{v} = (-5, 7, -3)$.

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{M_0A} \times \vec{v}| = \sqrt{(-5)^2 + 7^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 49 + 9} = \sqrt{83}$.

Теперь можем найти расстояние:

$d = \frac{\sqrt{83}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{83}{14}}$.

Ответ: $d = \sqrt{\frac{83}{14}}$

2) B(0; 3; 1)

Найдем вектор $\vec{M_0B}$:

$\vec{M_0B} = (0-6, 3-5, 1-2) = (-6, -2, -1)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{M_0B} \times \vec{v}$:

$\vec{M_0B} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -6 & -2 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2) \cdot 3 - (-1) \cdot 2) - \mathbf{j}((-6) \cdot 3 - (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}((-6) \cdot 2 - (-2) \cdot 1) = \mathbf{i}(-6+2) - \mathbf{j}(-18+1) + \mathbf{k}(-12+2) = -4\mathbf{i} + 17\mathbf{j} - 10\mathbf{k}$.

Таким образом, $\vec{M_0B} \times \vec{v} = (-4, 17, -10)$.

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{M_0B} \times \vec{v}| = \sqrt{(-4)^2 + 17^2 + (-10)^2} = \sqrt{16 + 289 + 100} = \sqrt{405}$.

Теперь можем найти расстояние:

$d = \frac{\sqrt{405}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{405}{14}}$.

Ответ: $d = \sqrt{\frac{405}{14}}$

3) C(-1; 1; 3)

Найдем вектор $\vec{M_0C}$:

$\vec{M_0C} = (-1-6, 1-5, 3-2) = (-7, -4, 1)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{M_0C} \times \vec{v}$:

$\vec{M_0C} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -7 & -4 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-4) \cdot 3 - 1 \cdot 2) - \mathbf{j}((-7) \cdot 3 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}((-7) \cdot 2 - (-4) \cdot 1) = \mathbf{i}(-12-2) - \mathbf{j}(-21-1) + \mathbf{k}(-14+4) = -14\mathbf{i} + 22\mathbf{j} - 10\mathbf{k}$.

Таким образом, $\vec{M_0C} \times \vec{v} = (-14, 22, -10)$.

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{M_0C} \times \vec{v}| = \sqrt{(-14)^2 + 22^2 + (-10)^2} = \sqrt{196 + 484 + 100} = \sqrt{780}$.

Теперь можем найти расстояние:

$d = \frac{\sqrt{780}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{780}{14}} = \sqrt{\frac{390}{7}}$.

Ответ: $d = \sqrt{\frac{390}{7}}$

4) D(-2; 1; 4)

Найдем вектор $\vec{M_0D}$:

$\vec{M_0D} = (-2-6, 1-5, 4-2) = (-8, -4, 2)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{M_0D} \times \vec{v}$:

$\vec{M_0D} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -8 & -4 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-4) \cdot 3 - 2 \cdot 2) - \mathbf{j}((-8) \cdot 3 - 2 \cdot 1) + \mathbf{k}((-8) \cdot 2 - (-4) \cdot 1) = \mathbf{i}(-12-4) - \mathbf{j}(-24-2) + \mathbf{k}(-16+4) = -16\mathbf{i} + 26\mathbf{j} - 12\mathbf{k}$.

Таким образом, $\vec{M_0D} \times \vec{v} = (-16, 26, -12)$.

Найдем модуль этого вектора:

$|\vec{M_0D} \times \vec{v}| = \sqrt{(-16)^2 + 26^2 + (-12)^2} = \sqrt{256 + 676 + 144} = \sqrt{1076}$.

Теперь можем найти расстояние:

$d = \frac{\sqrt{1076}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{1076}{14}} = \sqrt{\frac{538}{7}}$.

Ответ: $d = \sqrt{\frac{538}{7}}$