Номер 2.48, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.48. Найдите расстояние от точки A(1; 2; 3) до прямой:

1) $ \frac{x+1}{4}=\frac{y-3}{-6}=\frac{z-2}{-2} $

2) $ \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{6} $

3) $ \frac{x+2}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z}{2} $

4) $ x=6+t, y=5+2t, z=2+3t. $

Для нахождения расстояния от точки до прямой в пространстве используется формула, основанная на свойствах векторного произведения.

Расстояние $d$ от точки $M_1(x_1, y_1, z_1)$ до прямой, проходящей через точку $M_0(x_0, y_0, z_0)$ с направляющим вектором $\vec{s} = \{l, m, n\}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|\vec{M_0 M_1} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|}$

где $\times$ обозначает векторное произведение, а $|\cdot|$ — модуль вектора. Во всех подзадачах в качестве точки $M_1$ выступает точка $A(1; 2; 3)$.

1) Прямая задана уравнением $ \frac{x+1}{4}=\frac{y-3}{-6}=\frac{z-2}{-2} $.

Из уравнения находим точку на прямой $M_0(-1; 3; 2)$ и направляющий вектор $\vec{s} = \{4; -6; -2\}$. Для упрощения вычислений можно использовать коллинеарный ему вектор $\vec{s'} = \frac{1}{2}\vec{s} = \{2; -3; -1\}$.

Найдем вектор $\vec{M_0 A}$:

$\vec{M_0 A} = \{1 - (-1); 2 - 3; 3 - 2\} = \{2; -1; 1\}$.

Вычислим векторное произведение $\vec{M_0 A} \times \vec{s'}$:

$\vec{M_0 A} \times \vec{s'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 - (-3)) - \vec{j}(-2 - 2) + \vec{k}(-6 - (-2)) = 4\vec{i} + 4\vec{j} - 4\vec{k} = \{4; 4; -4\}$.

Найдем модуль полученного вектора:

$|\vec{M_0 A} \times \vec{s'}| = \sqrt{4^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16 + 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{s'}$:

$|\vec{s'}| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$.

Тогда искомое расстояние $d$ равно:

$d = \frac{|\vec{M_0 A} \times \vec{s'}|}{|\vec{s'}|} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{14}} = \frac{4\sqrt{42}}{14} = \frac{2\sqrt{42}}{7}$.

Ответ: $d = \frac{2\sqrt{42}}{7}$.

2) Прямая задана уравнением $ \frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{6} $.

Точка на прямой $M_0(1; -1; 0)$, направляющий вектор $\vec{s} = \{1; -2; 6\}$.

Вектор $\vec{M_0 A}$:

$\vec{M_0 A} = \{1 - 1; 2 - (-1); 3 - 0\} = \{0; 3; 3\}$.

Векторное произведение $\vec{M_0 A} \times \vec{s}$:

$\vec{M_0 A} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & 3 \\ 1 & -2 & 6 \end{vmatrix} = \vec{i}(18 - (-6)) - \vec{j}(0 - 3) + \vec{k}(0 - 3) = 24\vec{i} + 3\vec{j} - 3\vec{k} = \{24; 3; -3\}$.

Модуль векторного произведения:

$|\vec{M_0 A} \times \vec{s}| = \sqrt{24^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{576 + 9 + 9} = \sqrt{594}$.

Модуль направляющего вектора $\vec{s}$:

$|\vec{s}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 6^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41}$.

Расстояние $d$ равно:

$d = \frac{\sqrt{594}}{\sqrt{41}} = \sqrt{\frac{594}{41}}$.

Ответ: $d = \sqrt{\frac{594}{41}}$.

3) Прямая задана уравнением $ \frac{x+2}{3}=\frac{y-1}{4}=\frac{z}{2} $.

Точка на прямой $M_0(-2; 1; 0)$, направляющий вектор $\vec{s} = \{3; 4; 2\}$.

Вектор $\vec{M_0 A}$:

$\vec{M_0 A} = \{1 - (-2); 2 - 1; 3 - 0\} = \{3; 1; 3\}$.

Векторное произведение $\vec{M_0 A} \times \vec{s}$:

$\vec{M_0 A} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 1 & 3 \\ 3 & 4 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 - 12) - \vec{j}(6 - 9) + \vec{k}(12 - 3) = -10\vec{i} + 3\vec{j} + 9\vec{k} = \{-10; 3; 9\}$.

Модуль векторного произведения:

$|\vec{M_0 A} \times \vec{s}| = \sqrt{(-10)^2 + 3^2 + 9^2} = \sqrt{100 + 9 + 81} = \sqrt{190}$.

Модуль направляющего вектора $\vec{s}$:

$|\vec{s}| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29}$.

Расстояние $d$ равно:

$d = \frac{\sqrt{190}}{\sqrt{29}} = \sqrt{\frac{190}{29}}$.

Ответ: $d = \sqrt{\frac{190}{29}}$.

4) Прямая задана параметрически: $x = 6+t, y = 5+2t, z = 2+3t$.

Из уравнений находим точку на прямой $M_0(6; 5; 2)$ и направляющий вектор $\vec{s} = \{1; 2; 3\}$.

Вектор $\vec{M_0 A}$:

$\vec{M_0 A} = \{1 - 6; 2 - 5; 3 - 2\} = \{-5; -3; 1\}$.

Векторное произведение $\vec{M_0 A} \times \vec{s}$:

$\vec{M_0 A} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -5 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(-9 - 2) - \vec{j}(-15 - 1) + \vec{k}(-10 - (-3)) = -11\vec{i} + 16\vec{j} - 7\vec{k} = \{-11; 16; -7\}$.

Модуль векторного произведения:

$|\vec{M_0 A} \times \vec{s}| = \sqrt{(-11)^2 + 16^2 + (-7)^2} = \sqrt{121 + 256 + 49} = \sqrt{426}$.

Модуль направляющего вектора $\vec{s}$:

$|\vec{s}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

Расстояние $d$ равно:

$d = \frac{\sqrt{426}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{426}{14}} = \sqrt{\frac{213}{7}}$.

Ответ: $d = \sqrt{\frac{213}{7}}$.