Номер 2.45, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.45. Если $AB=c$, $AC=b$, $BC=a$, то определите вид треугольника $ABC$:

1) $a=8$, $b=6$, $c=10$;

2) $a=4$, $b=5$, $c=6$;

3) $a=5$, $b=6$, $c=9$.

Обоснуйте ответ.

Для определения вида треугольника по известным сторонам необходимо сравнить квадрат самой длинной стороны с суммой квадратов двух других сторон. Это является следствием из теоремы косинусов. Пусть $c_{max}$ — самая длинная сторона, а $s_1$ и $s_2$ — две другие стороны.

• Если $c_{max}^2 < s_1^2 + s_2^2$, то треугольник является остроугольным.
• Если $c_{max}^2 = s_1^2 + s_2^2$, то треугольник является прямоугольным (согласно теореме, обратной теореме Пифагора).
• Если $c_{max}^2 > s_1^2 + s_2^2$, то треугольник является тупоугольным.

Применим это правило для каждого случая.

1) Даны стороны $a=8$, $b=6$, $c=10$.

Самая длинная сторона – $c=10$. Сравним квадрат этой стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$c^2 = 10^2 = 100$

$a^2 + b^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

Поскольку $c^2 = a^2 + b^2$ ($100 = 100$), треугольник является прямоугольным. Прямой угол лежит напротив самой длинной стороны $c$.

Ответ: прямоугольный.

2) Даны стороны $a=4$, $b=5$, $c=6$.

Самая длинная сторона – $c=6$. Сравним квадрат этой стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$c^2 = 6^2 = 36$

$a^2 + b^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$

Поскольку $c^2 < a^2 + b^2$ ($36 < 41$), треугольник является остроугольным. Все его углы острые.

Ответ: остроугольный.

3) Даны стороны $a=5$, $b=6$, $c=9$.

Самая длинная сторона – $c=9$. Сравним квадрат этой стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$c^2 = 9^2 = 81$

$a^2 + b^2 = 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61$

Поскольку $c^2 > a^2 + b^2$ ($81 > 61$), треугольник является тупоугольным. Угол, лежащий напротив стороны $c$, является тупым.

Ответ: тупоугольный.