Номер 2.40, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.40. Покажите, что прямые скрещивающиеся и напишите уравнение плоскости, проходящей через каждую из этих прямых параллельно другой прямой:

1) $\frac{x+1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+3}{3}$ и $\begin{cases} x+2y+3 = 0, \\ 3y+z = 0; \end{cases}$

2) $x = -1+t, y = t, z = 1+2t$ и $\begin{cases} y = 3x-1, \\ z = 4x+2. \end{cases}$

1) Запишем первую прямую $L_1$ в каноническом виде: $ \frac{x+1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+3}{3} $. Отсюда мы можем определить точку на прямой $M_1(-1, 0, -3)$ и ее направляющий вектор $\vec{s_1} = (2, 3, 3)$.

Вторая прямая $L_2$ задана как пересечение двух плоскостей: $ \begin{cases} x+2y+3=0 \\ 3y+z=0 \end{cases} $. Найдем ее направляющий вектор $\vec{s_2}$ как векторное произведение нормалей этих плоскостей $\vec{n_1} = (1, 2, 0)$ и $\vec{n_2} = (0, 3, 1)$. $ \vec{s_2} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2-0) - \vec{j}(1-0) + \vec{k}(3-0) = (2, -1, 3) $.

Найдем какую-нибудь точку $M_2$ на прямой $L_2$. Пусть $y=0$, тогда из системы уравнений получаем $z=0$ и $x=-3$. Таким образом, точка $M_2$ имеет координаты $(-3, 0, 0)$.

Чтобы доказать, что прямые скрещивающиеся, нужно показать, что они не параллельны и не пересекаются.

1. Проверим на параллельность. Направляющие векторы $\vec{s_1} = (2, 3, 3)$ и $\vec{s_2} = (2, -1, 3)$ не коллинеарны, так как их координаты не пропорциональны ( $ \frac{2}{2} \neq \frac{3}{-1} $ ). Следовательно, прямые не параллельны.

2. Проверим на пересечение. Прямые скрещиваются, если смешанное произведение векторов $\vec{s_1}$, $\vec{s_2}$ и $\vec{M_1M_2}$ не равно нулю. Найдем вектор $\vec{M_1M_2} = (-3 - (-1), 0 - 0, 0 - (-3)) = (-2, 0, 3)$. Вычислим смешанное произведение: $ (\vec{s_1}, \vec{s_2}, \vec{M_1M_2}) = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 2(-1 \cdot 3 - 3 \cdot 0) - 3(2 \cdot 3 - 3 \cdot (-2)) + 3(2 \cdot 0 - (-1) \cdot (-2)) = 2(-3) - 3(6+6) + 3(-2) = -6 - 36 - 6 = -48 $. Так как смешанное произведение не равно нулю ($-48 \neq 0$), прямые не лежат в одной плоскости, то есть не пересекаются. Поскольку прямые не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися.

Теперь найдем уравнения плоскостей.

Плоскость $\Pi_1$, проходящая через прямую $L_1$ параллельно прямой $L_2$, проходит через точку $M_1(-1, 0, -3)$ и имеет нормальный вектор $\vec{n}$, перпендикулярный обоим направляющим векторам $\vec{s_1}$ и $\vec{s_2}$. Найдем $\vec{n}$ как их векторное произведение: $ \vec{n} = \vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(9 - (-3)) - \vec{j}(6-6) + \vec{k}(-2-6) = (12, 0, -8) $. Для удобства возьмем коллинеарный вектор, разделив на 4: $\vec{n_1} = (3, 0, -2)$. Уравнение плоскости $\Pi_1$: $3(x - (-1)) + 0(y - 0) - 2(z - (-3)) = 0$, что дает $3(x+1) - 2(z+3) = 0$, или $3x + 3 - 2z - 6 = 0$, то есть $3x - 2z - 3 = 0$.

Плоскость $\Pi_2$, проходящая через прямую $L_2$ параллельно прямой $L_1$, проходит через точку $M_2(-3, 0, 0)$ и имеет тот же нормальный вектор $\vec{n_1} = (3, 0, -2)$. Уравнение плоскости $\Pi_2$: $3(x - (-3)) + 0(y - 0) - 2(z - 0) = 0$, что дает $3(x+3) - 2z = 0$, или $3x + 9 - 2z = 0$.

Ответ: Прямые являются скрещивающимися, так как их направляющие векторы $\vec{s_1}=(2, 3, 3)$ и $\vec{s_2}=(2, -1, 3)$ не коллинеарны, а смешанное произведение $(\vec{s_1}, \vec{s_2}, \vec{M_1M_2})$ равно -48, что не равно нулю. Уравнение плоскости, проходящей через первую прямую параллельно второй: $3x - 2z - 3 = 0$. Уравнение плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой: $3x - 2z + 9 = 0$.

2) Первая прямая $L_1$ задана параметрически: $x = -1+t, y = t, z = 1+2t$. Точка на прямой $M_1(-1, 0, 1)$ (при $t=0$), направляющий вектор $\vec{s_1} = (1, 1, 2)$.

Вторую прямую $L_2$, заданную системой $ \begin{cases} y = 3x-1 \\ z = 4x+2 \end{cases} $, приведем к параметрическому виду, приняв $x=t'$: $x=t', y=-1+3t', z=2+4t'$. Точка на прямой $M_2(0, -1, 2)$ (при $t'=0$), направляющий вектор $\vec{s_2} = (1, 3, 4)$.

Чтобы доказать, что прямые скрещивающиеся, нужно показать, что они не параллельны и не пересекаются.

1. Проверим на параллельность. Направляющие векторы $\vec{s_1}=(1, 1, 2)$ и $\vec{s_2}=(1, 3, 4)$ не коллинеарны, так как их координаты не пропорциональны ( $ \frac{1}{1} \neq \frac{1}{3} $ ). Следовательно, прямые не параллельны.

2. Проверим на пересечение. Найдем вектор $\vec{M_1M_2} = (0 - (-1), -1 - 0, 2 - 1) = (1, -1, 1)$. Вычислим смешанное произведение $(\vec{s_1}, \vec{s_2}, \vec{M_1M_2})$: $ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(3 \cdot 1 - 4 \cdot (-1)) - 1(1 \cdot 1 - 4 \cdot 1) + 2(1 \cdot (-1) - 3 \cdot 1) = 1(3+4) - 1(1-4) + 2(-1-3) = 7 - (-3) - 8 = 2 $. Так как смешанное произведение равно $2 \neq 0$, прямые не лежат в одной плоскости, то есть не пересекаются. Поскольку прямые не параллельны и не пересекаются, они являются скрещивающимися.

Теперь найдем уравнения плоскостей.

Плоскость $\Pi_1$, проходящая через прямую $L_1$ параллельно $L_2$, проходит через точку $M_1(-1, 0, 1)$ и имеет нормальный вектор $\vec{n}$, который найдем как векторное произведение $\vec{s_1} \times \vec{s_2}$: $ \vec{n} = \vec{s_1} \times \vec{s_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(4-6) - \vec{j}(4-2) + \vec{k}(3-1) = (-2, -2, 2) $. Для удобства возьмем коллинеарный вектор $\vec{n_1} = (1, 1, -1)$. Уравнение плоскости $\Pi_1$: $1(x - (-1)) + 1(y - 0) - 1(z - 1) = 0$, что дает $x+1+y-z+1 = 0$, то есть $x+y-z+2 = 0$.

Плоскость $\Pi_2$, проходящая через прямую $L_2$ параллельно $L_1$, проходит через точку $M_2(0, -1, 2)$ и имеет тот же нормальный вектор $\vec{n_1} = (1, 1, -1)$. Уравнение плоскости $\Pi_2$: $1(x - 0) + 1(y - (-1)) - 1(z - 2) = 0$, что дает $x + y+1 - z+2 = 0$, или $x+y-z+3 = 0$.

Ответ: Прямые являются скрещивающимися, так как их направляющие векторы $\vec{s_1}=(1, 1, 2)$ и $\vec{s_2}=(1, 3, 4)$ не коллинеарны, а смешанное произведение $(\vec{s_1}, \vec{s_2}, \vec{M_1M_2})$ равно 2, что не равно нулю. Уравнение плоскости, проходящей через первую прямую параллельно второй: $x+y-z+2=0$. Уравнение плоскости, проходящей через вторую прямую параллельно первой: $x+y-z+3=0$.