Номер 2.39, страница 72 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.39. Напишите уравнение плоскости, параллельной оси $\text{Oz}$ и проходящей через точки $A(1; 2; 3)$, $B(4; 0; 1)$.

Для того чтобы составить уравнение плоскости, нам нужно знать одну точку, через которую она проходит, и два неколлинеарных вектора, параллельных этой плоскости. По условию плоскость проходит через точки $A(1; 2; 3)$ и $B(4; 0; 1)$.

1. В качестве точки, принадлежащей плоскости, возьмем точку $A(1; 2; 3)$.

2. Найдем первый вектор, параллельный плоскости. Таким вектором является вектор $\vec{AB}$, соединяющий две точки на плоскости:

$\vec{a} = \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (4 - 1; 0 - 2; 1 - 3) = (3; -2; -2)$.

3. Найдем второй вектор, параллельный плоскости. По условию, плоскость параллельна оси $Oz$. Направляющий вектор оси $Oz$ — это вектор $\vec{k} = (0; 0; 1)$. Следовательно, этот вектор также будет параллелен искомой плоскости.

$\vec{b} = \vec{k} = (0; 0; 1)$.

4. Теперь у нас есть точка $A(1; 2; 3)$ на плоскости и два направляющих вектора $\vec{a}=(3; -2; -2)$ и $\vec{b}=(0; 0; 1)$. Возьмем произвольную точку $M(x; y; z)$ на плоскости. Тогда вектор $\vec{AM} = (x - 1; y - 2; z - 3)$ также лежит в этой плоскости.

Векторы $\vec{AM}$, $\vec{a}$ и $\vec{b}$ компланарны (лежат в одной плоскости). Условием компланарности трех векторов является равенство их смешанного произведения нулю. Смешанное произведение можно вычислить через определитель, составленный из координат этих векторов:

$ \begin{vmatrix} x-x_A & y-y_A & z-z_A \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} = 0 $

Подставим наши значения:

$ \begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ 3 & -2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0 $

Раскроем определитель по третьей строке:

$0 \cdot \begin{vmatrix} y-2 & z-3 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} x-1 & z-3 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} x-1 & y-2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = 0$

Вычисляем оставшийся определитель 2x2:

$1 \cdot ((x-1)(-2) - (y-2)(3)) = 0$

$-2(x-1) - 3(y-2) = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$-2x + 2 - 3y + 6 = 0$

$-2x - 3y + 8 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на $-1$:

$2x + 3y - 8 = 0$

Это и есть искомое уравнение плоскости. Проверим, что оно удовлетворяет всем условиям. Уравнение вида $Ax+By+D=0$ задает плоскость, параллельную оси $Oz$. Проверим принадлежность точек $A$ и $B$ этой плоскости:

Точка $A(1; 2; 3)$: $2(1) + 3(2) - 8 = 2 + 6 - 8 = 0$.

Точка $B(4; 0; 1)$: $2(4) + 3(0) - 8 = 8 + 0 - 8 = 0$.

Все условия выполнены.

Ответ: $2x + 3y - 8 = 0$.