Номер 2.32, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.32. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку M(3; 0; 1) параллельно данной плоскости:

1) $x + 2y + z - 6 = 0$;

2) $x - y - 2z + 3 = 0$;

3) $x + 3y - 2z - 6 = 0$;

4) $2x + 3y - 2z - 4 = 0$.

Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0, y_0, z_0)$ и параллельной плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$, можно найти следующим образом. Поскольку искомая плоскость параллельна данной, их векторы нормали $\vec{n} = (A, B, C)$ коллинеарны. Следовательно, уравнение искомой плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D' = 0$. Для нахождения константы $D'$ нужно подставить координаты точки $M(3; 0; 1)$ в это уравнение.

1) Для плоскости $x + 2y + z - 6 = 0$ вектор нормали $\vec{n}=(1, 2, 1)$. Уравнение искомой плоскости: $x + 2y + z + D' = 0$. Подставим координаты точки $M(3; 0; 1)$:

$3 + 2 \cdot 0 + 1 + D' = 0$

$4 + D' = 0$

$D' = -4$

Таким образом, уравнение искомой плоскости: $x + 2y + z - 4 = 0$.

Ответ: $x + 2y + z - 4 = 0$.

2) Для плоскости $x - y - 2z + 3 = 0$ вектор нормали $\vec{n}=(1, -1, -2)$. Уравнение искомой плоскости: $x - y - 2z + D' = 0$. Подставим координаты точки $M(3; 0; 1)$:

$3 - 0 - 2 \cdot 1 + D' = 0$

$1 + D' = 0$

$D' = -1$

Таким образом, уравнение искомой плоскости: $x - y - 2z - 1 = 0$.

Ответ: $x - y - 2z - 1 = 0$.

3) Для плоскости $x + 3y - 2z - 6 = 0$ вектор нормали $\vec{n}=(1, 3, -2)$. Уравнение искомой плоскости: $x + 3y - 2z + D' = 0$. Подставим координаты точки $M(3; 0; 1)$:

$3 + 3 \cdot 0 - 2 \cdot 1 + D' = 0$

$1 + D' = 0$

$D' = -1$

Таким образом, уравнение искомой плоскости: $x + 3y - 2z - 1 = 0$.

Ответ: $x + 3y - 2z - 1 = 0$.

4) Для плоскости $2x + 3y - 2z - 4 = 0$ вектор нормали $\vec{n}=(2, 3, -2)$. Уравнение искомой плоскости: $2x + 3y - 2z + D' = 0$. Подставим координаты точки $M(3; 0; 1)$:

$2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 - 2 \cdot 1 + D' = 0$

$6 + 0 - 2 + D' = 0$

$4 + D' = 0$

$D' = -4$

Таким образом, уравнение искомой плоскости: $2x + 3y - 2z - 4 = 0$.

Ответ: $2x + 3y - 2z - 4 = 0$.