Номер 2.25, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.25. Определите взаимное расположение двух плоскостей в пространстве:

1) $x = 2 + t$, $y = 3 - 2t$, $z = -1 + 2t$ и $\frac{x+1}{4} = \frac{y-3}{-6} = \frac{z-2}{-2}$;

2) $x = 3t$, $y = 1 - 2t$, $z = -2 + 3t$ и $\frac{x}{3} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z+2}{3}$.

Заметим, что в условии задачи говорится об определении взаимного расположения двух плоскостей, однако приведенные уравнения являются уравнениями прямых в пространстве. Поэтому будем определять взаимное расположение прямых.

1) Первая прямая, $L_1$, задана параметрическими уравнениями: $x = 2 + t, y = 3 - 2t, z = -1 + 2t$.

Из этих уравнений можно определить точку $M_1$ на прямой (при $t=0$) и ее направляющий вектор $s_1$:

$M_1(2; 3; -1)$

$s_1 = (1; -2; 2)$

Вторая прямая, $L_2$, задана каноническими уравнениями: $\frac{x+1}{4} = \frac{y-3}{-6} = \frac{z-2}{-2}$.

Из этих уравнений можно определить точку $M_2$ на прямой и ее направляющий вектор $s_2$:

$M_2(-1; 3; 2)$

$s_2 = (4; -6; -2)$

Сначала проверим направляющие векторы $s_1$ и $s_2$ на коллинеарность. Векторы коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны.

Сравним отношения координат: $\frac{1}{4}$ и $\frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$.

Так как $\frac{1}{4} \ne \frac{1}{3}$, векторы не коллинеарны. Это значит, что прямые либо пересекаются, либо скрещиваются.

Чтобы определить, какой из этих двух случаев имеет место, нужно проверить, лежат ли прямые в одной плоскости. Это эквивалентно проверке компланарности векторов $s_1$, $s_2$ и вектора $M_1M_2$, соединяющего точку на первой прямой с точкой на второй прямой. Найдем вектор $M_1M_2$:

$M_1M_2 = (-1 - 2; 3 - 3; 2 - (-1)) = (-3; 0; 3)$.

Векторы $s_1$, $s_2$ и $M_1M_2$ компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Вычислим смешанное произведение как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:

$ (s_1, s_2, M_1M_2) = \begin{vmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 4 & -6 & -2 \\ -3 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 1((-6) \cdot 3 - (-2) \cdot 0) - (-2)(4 \cdot 3 - (-2) \cdot (-3)) + 2(4 \cdot 0 - (-6) \cdot (-3)) = 1(-18) + 2(12 - 6) + 2(0 - 18) = -18 + 12 - 36 = -42$.

Смешанное произведение равно $-42$, что не равно нулю. Следовательно, векторы не компланарны, и прямые не лежат в одной плоскости. Значит, они скрещиваются.

Ответ: прямые скрещиваются.

2) Первая прямая, $L_1$, задана параметрическими уравнениями: $x = 3t, y = 1 - 2t, z = -2 + 3t$.

Точка на прямой $M_1$ (при $t=0$) и направляющий вектор $s_1$:

$M_1(0; 1; -2)$

$s_1 = (3; -2; 3)$

Вторая прямая, $L_2$, задана каноническими уравнениями: $\frac{x}{3} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z+2}{3}$.

Точка на прямой $M_2$ и направляющий вектор $s_2$:

$M_2(0; 1; -2)$

$s_2 = (3; -2; 3)$

Сравним направляющие векторы $s_1$ и $s_2$.

$s_1 = (3; -2; 3)$ и $s_2 = (3; -2; 3)$.

Векторы равны, следовательно, они коллинеарны. Это означает, что прямые либо параллельны, либо совпадают.

Чтобы различить эти два случая, проверим, принадлежит ли точка одной прямой другой прямой. Возьмем точку $M_1(0; 1; -2)$ с первой прямой и подставим ее координаты в уравнение второй прямой:

$\frac{0}{3} = \frac{1-1}{-2} = \frac{-2+2}{3}$

$0 = 0 = 0$

Так как равенство выполняется, точка $M_1$ лежит на прямой $L_2$. Поскольку прямые имеют коллинеарные направляющие векторы и общую точку, они совпадают.

Ответ: прямые совпадают.