Номер 2.22, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.22. Какое условие должно выполняться, чтобы точка $M(x_1; y_1; z_1)$ принадлежала прямой $\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{k}$? Определите, какая из точек $A(-1; 1; 1)$, $B(4; 1; 1)$, $C(0; -3; -1)$, $D(3; 4; 2)$, $E(-1; -5; -1)$ принадлежит и не принадлежит прямой $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z}{1}$.

Чтобы точка $M_1(x_1; y_1; z_1)$ принадлежала прямой, заданной каноническим уравнением $\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{k}$, необходимо и достаточно, чтобы ее координаты удовлетворяли этому уравнению. То есть при подстановке координат точки в уравнение прямой все три отношения должны быть равны одному и тому же числу. Это означает, что должно выполняться равенство:

$\frac{x_1 - x_0}{m} = \frac{y_1 - y_0}{n} = \frac{z_1 - z_0}{k}$

Ответ: Условие принадлежности точки $M_1(x_1; y_1; z_1)$ прямой $\frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{k}$ заключается в выполнении равенства $\frac{x_1 - x_0}{m} = \frac{y_1 - y_0}{n} = \frac{z_1 - z_0}{k}$.

Определим, какие из заданных точек принадлежат прямой $\frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z}{1}$. Для этого поочередно подставим координаты каждой точки в уравнение прямой и проверим, выполняется ли равенство.

A(-1; 1; 1)

Подставляем координаты в уравнение: $\frac{-1-1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$; $\frac{1+2}{3} = \frac{3}{3} = 1$; $\frac{1}{1} = 1$.

Так как $-1 \neq 1$, равенство не выполняется. Следовательно, точка A не принадлежит прямой.

B(4; 1; 1)

Подставляем координаты в уравнение: $\frac{4-1}{2} = \frac{3}{2}$; $\frac{1+2}{3} = \frac{3}{3} = 1$; $\frac{1}{1} = 1$.

Так как $\frac{3}{2} \neq 1$, равенство не выполняется. Следовательно, точка B не принадлежит прямой.

C(0; -3; -1)

Подставляем координаты в уравнение: $\frac{0-1}{2} = -\frac{1}{2}$; $\frac{-3+2}{3} = -\frac{1}{3}$; $\frac{-1}{1} = -1$.

Так как значения $-\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{3}$ и $-1$ не равны между собой, равенство не выполняется. Следовательно, точка C не принадлежит прямой.

D(3; 4; 2)

Подставляем координаты в уравнение: $\frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1$; $\frac{4+2}{3} = \frac{6}{3} = 2$; $\frac{2}{1} = 2$.

Так как $1 \neq 2$, равенство не выполняется. Следовательно, точка D не принадлежит прямой.

E(-1; -5; -1)

Подставляем координаты в уравнение: $\frac{-1-1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$; $\frac{-5+2}{3} = \frac{-3}{3} = -1$; $\frac{-1}{1} = -1$.

Так как $-1 = -1 = -1$, равенство выполняется. Следовательно, точка E принадлежит прямой.

Ответ: Прямой принадлежит точка E(-1; -5; -1). Точки A(-1; 1; 1), B(4; 1; 1), C(0; -3; -1) и D(3; 4; 2) не принадлежат прямой.