Номер 2.24, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.24. Определите взаимное расположение двух плоскостей в пространстве:

1) $x + 2y - z - 1 = 0$ и $4x - 2y + 4z - 3 = 0;$

2) $2x - y + z - 4 = 0$ и $-6x + 3y - 3z + 8 = 0;$

3) $x + 2y - z - 1 = 0$ и $-2x - 4y + 2z - 2 = 0.$

1) Даны плоскости $x + 2y - z - 1 = 0$ и $4x - 2y + 4z - 3 = 0$.

Для определения их взаимного расположения необходимо проанализировать их нормальные векторы. Нормальный вектор к плоскости, заданной уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, имеет координаты $\vec{n}=(A, B, C)$.

Нормальные векторы к данным плоскостям:

$\vec{n_1} = (1, 2, -1)$ для первой плоскости.

$\vec{n_2} = (4, -2, 4)$ для второй плоскости.

Проверим, являются ли эти векторы коллинеарными (пропорциональными), для этого сравним отношения их соответствующих координат:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{4}$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{2}{-2} = -1$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{-1}{4}$

Поскольку отношения координат не равны ($\frac{1}{4} \neq -1$), нормальные векторы не коллинеарны. Это означает, что плоскости пересекаются по прямой.

Ответ: плоскости пересекаются.

2) Даны плоскости $2x - y + z - 4 = 0$ и $-6x + 3y - 3z + 8 = 0$.

Нормальные векторы к этим плоскостям имеют координаты:

$\vec{n_1} = (2, -1, 1)$

$\vec{n_2} = (-6, 3, -3)$

Проверим пропорциональность их координат:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{1}{-3} = -\frac{1}{3}$

Так как все отношения координат равны, нормальные векторы коллинеарны. Это значит, что плоскости либо параллельны, либо совпадают. Для того чтобы это определить, сравним отношение свободных членов $D_1 = -4$ и $D_2 = 8$ с полученным коэффициентом пропорциональности:

$\frac{D_1}{D_2} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$

Поскольку $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$ (так как $-\frac{1}{3} \neq -\frac{1}{2}$), плоскости параллельны и не совпадают.

Ответ: плоскости параллельны.

3) Даны плоскости $x + 2y - z - 1 = 0$ и $-2x - 4y + 2z - 2 = 0$.

Нормальные векторы к этим плоскостям имеют координаты:

$\vec{n_1} = (1, 2, -1)$

$\vec{n_2} = (-2, -4, 2)$

Проверим пропорциональность их координат:

$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

$\frac{B_1}{B_2} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$

$\frac{C_1}{C_2} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$

Отношения координат равны, следовательно, нормальные векторы коллинеарны. Плоскости могут быть параллельны или совпадать. Сравним отношение свободных членов $D_1 = -1$ и $D_2 = -2$ с коэффициентом пропорциональности:

$\frac{D_1}{D_2} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$

Так как коэффициент пропорциональности для координат ($-\frac{1}{2}$) не равен коэффициенту пропорциональности для свободных членов ($\frac{1}{2}$), то есть выполняется условие $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} \neq \frac{D_1}{D_2}$, плоскости являются параллельными.

Ответ: плоскости параллельны.