Номер 2.23, страница 69 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.23. Определите взаимное расположение прямой и плоскости:

1) $ \frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z-1}{4} $ и $ 2x - y - 3z + 5 = 0; $

2) $ x = 2 + t, y = 3 - 2t, z = -1 + 2t $ и $ 2x + 3y + z - 9 = 0; $

3) $ \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{-2} = \frac{z+1}{2} $ и $ 2x - 4y - 5z - 9 = 0. $

1) Для определения взаимного расположения прямой и плоскости необходимо найти их направляющий вектор и нормальный вектор соответственно.

Прямая задана каноническим уравнением: $\frac{x}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z - 1}{4}$.

Ее направляющий вектор $\vec{s}$ имеет координаты, указанные в знаменателях дробей: $\vec{s} = (3, 2, 4)$.

Плоскость задана общим уравнением: $2x - y - 3z + 5 = 0$.

Ее нормальный вектор $\vec{n}$ имеет координаты, равные коэффициентам при $x, y, z$: $\vec{n} = (2, -1, -3)$.

Прямая и плоскость параллельны, если направляющий вектор прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости. Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения. Найдем скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = 3 \cdot 2 + 2 \cdot (-1) + 4 \cdot (-3) = 6 - 2 - 12 = -8$.

Поскольку скалярное произведение не равно нулю ($\vec{s} \cdot \vec{n} \neq 0$), прямая не параллельна плоскости и не лежит в ней. Следовательно, прямая пересекает плоскость.

Ответ: прямая и плоскость пересекаются.

2) Прямая задана параметрическими уравнениями: $x = 2 + t, y = 3 - 2t, z = -1 + 2t$.

Ее направляющий вектор $\vec{s}$ определяется коэффициентами при параметре $t$: $\vec{s} = (1, -2, 2)$.

Плоскость задана общим уравнением: $2x + 3y + z - 9 = 0$.

Ее нормальный вектор $\vec{n}$ имеет координаты: $\vec{n} = (2, 3, 1)$.

Проверим условие параллельности, вычислив скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 2 - 6 + 2 = -2$.

Так как скалярное произведение $\vec{s} \cdot \vec{n} \neq 0$, прямая не параллельна плоскости. Это означает, что прямая и плоскость пересекаются в одной точке.

Ответ: прямая и плоскость пересекаются.

3) Прямая задана каноническим уравнением: $\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-2} = \frac{z + 1}{2}$.

Направляющий вектор прямой: $\vec{s} = (1, -2, 2)$.

Плоскость задана общим уравнением: $2x - 4y - 5z - 9 = 0$.

Нормальный вектор плоскости: $\vec{n} = (2, -4, -5)$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$:

$\vec{s} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot (-4) + 2 \cdot (-5) = 2 + 8 - 10 = 0$.

Поскольку скалярное произведение равно нулю, направляющий вектор прямой перпендикулярен нормальному вектору плоскости. Это означает, что прямая либо параллельна плоскости, либо лежит в ней.

Чтобы различить эти два случая, нужно проверить, принадлежит ли какая-либо точка прямой данной плоскости. Из уравнения прямой видно, что она проходит через точку $M_0(1, 2, -1)$. Подставим координаты этой точки в уравнение плоскости:

$2(1) - 4(2) - 5(-1) - 9 = 2 - 8 + 5 - 9 = -10$.

Результат не равен нулю ($-10 \neq 0$), значит, точка $M_0$ не лежит на плоскости. Так как прямая параллельна плоскости и не имеет с ней общих точек, она не пересекает плоскость.

Ответ: прямая параллельна плоскости.