Номер 2.30, страница 70 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.30. Найдите точки пересечения плоскости с осями координат. Для этого напишите данное уравнение плоскости в отрезках:

1) $3x + 2y + z - 6 = 0;$

2) $x - y - z + 3 = 0;$

3) $x + 3y - z - 6 = 0;$

4) $2x + y - 2z - 4 = 0.$

Для нахождения точек пересечения плоскости с осями координат, необходимо привести общее уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ к уравнению в отрезках: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$. В этом уравнении величины $a$, $b$ и $c$ являются координатами точек пересечения плоскости с осями $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Точки пересечения будут иметь координаты $(a, 0, 0)$, $(0, b, 0)$ и $(0, 0, c)$.

1) Дано уравнение плоскости $3x + 2y + z - 6 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения: $3x + 2y + z = 6$.

Разделим обе части уравнения на 6, чтобы в правой части получить 1:

$\frac{3x}{6} + \frac{2y}{6} + \frac{z}{6} = 1$

Упростим выражение, чтобы получить уравнение в отрезках:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1$

Отсюда видно, что $a=2$, $b=3$, $c=6$.

Следовательно, точки пересечения с осями координат: $(2, 0, 0)$ с осью $Ox$, $(0, 3, 0)$ с осью $Oy$, и $(0, 0, 6)$ с осью $Oz$.

Ответ: $(2, 0, 0)$, $(0, 3, 0)$, $(0, 0, 6)$.

2) Дано уравнение плоскости $x - y - z + 3 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть уравнения: $x - y - z = -3$.

Разделим обе части уравнения на -3:

$\frac{x}{-3} - \frac{y}{-3} - \frac{z}{-3} = 1$

Запишем в стандартном виде уравнения в отрезках:

$\frac{x}{-3} + \frac{y}{3} + \frac{z}{3} = 1$

Отсюда $a=-3$, $b=3$, $c=3$.

Точки пересечения с осями координат: $(-3, 0, 0)$ с осью $Ox$, $(0, 3, 0)$ с осью $Oy$, и $(0, 0, 3)$ с осью $Oz$.

Ответ: $(-3, 0, 0)$, $(0, 3, 0)$, $(0, 0, 3)$.

3) Дано уравнение плоскости $x + 3y - z - 6 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть: $x + 3y - z = 6$.

Разделим обе части уравнения на 6:

$\frac{x}{6} + \frac{3y}{6} - \frac{z}{6} = 1$

Приведем к стандартному виду уравнения в отрезках:

$\frac{x}{6} + \frac{y}{2} + \frac{z}{-6} = 1$

Отсюда $a=6$, $b=2$, $c=-6$.

Точки пересечения с осями координат: $(6, 0, 0)$ с осью $Ox$, $(0, 2, 0)$ с осью $Oy$, и $(0, 0, -6)$ с осью $Oz$.

Ответ: $(6, 0, 0)$, $(0, 2, 0)$, $(0, 0, -6)$.

4) Дано уравнение плоскости $2x + y - 2z - 4 = 0$.

Перенесем свободный член в правую часть: $2x + y - 2z = 4$.

Разделим обе части уравнения на 4:

$\frac{2x}{4} + \frac{y}{4} - \frac{2z}{4} = 1$

Приведем к стандартному виду уравнения в отрезках:

$\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{-2} = 1$

Отсюда $a=2$, $b=4$, $c=-2$.

Точки пересечения с осями координат: $(2, 0, 0)$ с осью $Ox$, $(0, 4, 0)$ с осью $Oy$, и $(0, 0, -2)$ с осью $Oz$.

Ответ: $(2, 0, 0)$, $(0, 4, 0)$, $(0, 0, -2)$.