Номер 2.35, страница 71 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.35. Найдите свободный член $\text{d}$ так, чтобы точка: 1) $A(-1; -1; 1)$; 2) $B(0; 2; 3)$; 3) $C(6; 1; 0)$; 4) $D(3; -2; -4)$ принадлежала плоскости $x - 2y + z + d = 0$. Для всех ли точек эта задача имеет решение? Определите взаимное расположение плоскостей, заданных уравнениями, отличающимися только свободными членами? Обоснуйте ответ.

1) Чтобы точка $A(-1; -1; 1)$ принадлежала плоскости $x - 2y + z + d = 0$, ее координаты должны удовлетворять этому уравнению. Подставим координаты $x=-1$, $y=-1$, $z=1$ в уравнение плоскости: $(-1) - 2(-1) + 1 + d = 0$. Упростим выражение: $-1 + 2 + 1 + d = 0$, что дает $2 + d = 0$. Отсюда находим $d = -2$.

Ответ: $d = -2$.

2) Аналогично для точки $B(0; 2; 3)$ подставляем ее координаты в уравнение плоскости $x - 2y + z + d = 0$: $0 - 2(2) + 3 + d = 0$. Упростим: $-4 + 3 + d = 0$, что дает $-1 + d = 0$. Отсюда $d = 1$.

Ответ: $d = 1$.

3) Для точки $C(6; 1; 0)$ подставляем ее координаты в уравнение $x - 2y + z + d = 0$: $6 - 2(1) + 0 + d = 0$. Упростим: $6 - 2 + d = 0$, что дает $4 + d = 0$. Отсюда $d = -4$.

Ответ: $d = -4$.

4) Для точки $D(3; -2; -4)$ подставляем ее координаты в уравнение $x - 2y + z + d = 0$: $3 - 2(-2) + (-4) + d = 0$. Упростим: $3 + 4 - 4 + d = 0$, что дает $3 + d = 0$. Отсюда $d = -3$.

Ответ: $d = -3$.

Да, данная задача имеет решение для любой точки в пространстве. Пусть задана произвольная точка с координатами $(x_0, y_0, z_0)$. Чтобы найти такое значение $d$, при котором эта точка будет принадлежать плоскости $x - 2y + z + d = 0$, необходимо подставить ее координаты в уравнение: $x_0 - 2y_0 + z_0 + d = 0$. Это линейное уравнение относительно $d$, которое имеет единственное решение $d = -(x_0 - 2y_0 + z_0)$. Так как для любых действительных чисел $x_0, y_0, z_0$ можно вычислить значение $d$, то для любой точки существует единственная плоскость из данного семейства, которой она принадлежит.

Ответ: Да, эта задача имеет решение для любой точки.

Плоскости, заданные уравнениями, которые отличаются только свободными членами, параллельны друг другу. Раcсмотрим общее уравнение плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$. Вектор $\vec{n}=(A, B, C)$ является вектором нормали к плоскости, то есть вектором, перпендикулярным ей. Все плоскости вида $x - 2y + z + d = 0$ имеют одинаковые коэффициенты при $x, y, z$, а именно $A=1, B=-2, C=1$. Это означает, что у всех таких плоскостей один и тот же нормальный вектор $\vec{n}=(1, -2, 1)$. Если нормальные векторы двух плоскостей коллинеарны (в данном случае — совпадают), то сами плоскости параллельны. Если при этом свободные члены $d$ различны, плоскости не совпадают и не пересекаются. Если свободные члены равны, то уравнения идентичны, и плоскости совпадают. Таким образом, изменение свободного члена $d$ приводит к параллельному сдвигу плоскости вдоль ее нормали.

Ответ: Плоскости, уравнения которых отличаются только свободным членом, образуют семейство параллельных плоскостей. Если свободные члены равны, плоскости совпадают.