Номер 2.42, страница 73 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.42*. В пространстве прямая $ \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-3}{-2} $ проходит через сторону $\text{AB}$ ромба $ABCD$, а прямая $ \frac{x-1}{-2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-3}{2} $ через диагональ $\text{AC}$. Является ли точка $C(3; -2; 1)$ вершиной ромба? Если является вершиной, то найдите:

1) координаты других вершин ромба;

2) точку пересечения диагоналей ромба;

3) канонические уравнения прямых, проходящих через другие стороны ромба.

Сначала проверим, является ли точка $C(3; -2; 1)$ вершиной ромба. По условию, диагональ $AC$ лежит на прямой $l_{AC}: \frac{x-1}{-2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-3}{2}$. Подставим координаты точки $C$ в это уравнение:

$\frac{3-1}{-2} = \frac{2}{-2} = -1$

$\frac{-2+1}{1} = \frac{-1}{1} = -1$

$\frac{1-3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Так как все три отношения равны, точка $C(3; -2; 1)$ лежит на прямой $l_{AC}$ и, следовательно, является вершиной ромба.

1) Найдем координаты других вершин ромба $A$, $B$, $D$.

Вершина $A$ является точкой пересечения прямой $l_{AB}$, содержащей сторону $AB$, и прямой $l_{AC}$, содержащей диагональ $AC$.

$l_{AB}: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-3}{-2}$

$l_{AC}: \frac{x-1}{-2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-3}{2}$

Очевидно, что обе прямые проходят через точку $A(1; -1; 3)$, так как при подстановке ее координат все части уравнений обращаются в ноль. Таким образом, $A(1; -1; 3)$.

Вершина $B$ лежит на прямой $l_{AB}$. Запишем параметрические уравнения этой прямой:

$x = 1 + 2t$

$y = -1 + 3t$

$z = 3 - 2t$

Координаты точки $B$ имеют вид $(1+2t, -1+3t, 3-2t)$ для некоторого значения параметра $t$. В ромбе все стороны равны, поэтому длина стороны $AB$ равна длине стороны $BC$.

Вектор $\vec{AB} = (1+2t-1, -1+3t-(-1), 3-2t-3) = (2t, 3t, -2t)$.

Квадрат длины стороны $AB$: $|\vec{AB}|^2 = (2t)^2 + (3t)^2 + (-2t)^2 = 4t^2 + 9t^2 + 4t^2 = 17t^2$.

Вектор $\vec{BC} = (3 - (1+2t), -2 - (-1+3t), 1 - (3-2t)) = (2-2t, -1-3t, -2+2t)$.

Квадрат длины стороны $BC$: $|\vec{BC}|^2 = (2-2t)^2 + (-1-3t)^2 + (-2+2t)^2 = (4-8t+4t^2) + (1+6t+9t^2) + (4-8t+4t^2) = 17t^2 - 10t + 9$.

Приравняем квадраты длин:

$17t^2 = 17t^2 - 10t + 9$

$10t = 9 \Rightarrow t = \frac{9}{10}$.

Найдем координаты точки $B$, подставив $t = 9/10$ в параметрические уравнения:

$x_B = 1 + 2 \cdot \frac{9}{10} = 1 + \frac{18}{10} = \frac{28}{10} = \frac{14}{5}$

$y_B = -1 + 3 \cdot \frac{9}{10} = -1 + \frac{27}{10} = \frac{17}{10}$

$z_B = 3 - 2 \cdot \frac{9}{10} = 3 - \frac{18}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

Итак, $B(\frac{14}{5}; \frac{17}{10}; \frac{6}{5})$.

Диагонали ромба пересекаются в их середине. Найдем середину $O$ диагонали $AC$. Эта точка также будет серединой диагонали $BD$.

$O = (\frac{x_A+x_C}{2}; \frac{y_A+y_C}{2}; \frac{z_A+z_C}{2}) = (\frac{1+3}{2}; \frac{-1-2}{2}; \frac{3+1}{2}) = (2; -\frac{3}{2}; 2)$.

Так как $O$ — середина $BD$, то $O = \frac{B+D}{2}$, откуда $D = 2O - B$.

$x_D = 2 \cdot 2 - \frac{14}{5} = 4 - \frac{14}{5} = \frac{20-14}{5} = \frac{6}{5}$

$y_D = 2 \cdot (-\frac{3}{2}) - \frac{17}{10} = -3 - \frac{17}{10} = \frac{-30-17}{10} = -\frac{47}{10}$

$z_D = 2 \cdot 2 - \frac{6}{5} = 4 - \frac{6}{5} = \frac{20-6}{5} = \frac{14}{5}$

Итак, $D(\frac{6}{5}; -\frac{47}{10}; \frac{14}{5})$.

Ответ: $A(1; -1; 3)$, $B(\frac{14}{5}; \frac{17}{10}; \frac{6}{5})$, $D(\frac{6}{5}; -\frac{47}{10}; \frac{14}{5})$.

2) Точка пересечения диагоналей ромба была найдена в предыдущем пункте как середина диагонали $AC$.

Ответ: $(2; -\frac{3}{2}; 2)$.

3) Найдем канонические уравнения прямых, проходящих через другие стороны ромба ($BC$, $CD$, $DA$).

Для прямой $BC$ используем точку $C(3; -2; 1)$ и направляющий вектор $\vec{BC}$.

$\vec{BC} = (3 - \frac{14}{5}; -2 - \frac{17}{10}; 1 - \frac{6}{5}) = (\frac{1}{5}; -\frac{37}{10}; -\frac{1}{5})$. В качестве направляющего вектора можно взять коллинеарный ему вектор $(2; -37; -2)$.

Уравнение прямой $BC$: $\frac{x-3}{2} = \frac{y+2}{-37} = \frac{z-1}{-2}$.

Для прямой $CD$ используем точку $C(3; -2; 1)$. Сторона $CD$ параллельна стороне $AB$, поэтому ее направляющий вектор коллинеарен вектору прямой $l_{AB}$, то есть $\vec{s}_{AB}=(2; 3; -2)$. Для соответствия направлению от $C$ к $D$ возьмем вектор $\vec{s}_{CD} = (-2; -3; 2)$.

$\vec{CD} = D - C = (\frac{6}{5}-3; -\frac{47}{10}-(-2); \frac{14}{5}-1) = (-\frac{9}{5}; -\frac{27}{10}; \frac{9}{5})$. Этот вектор коллинеарен вектору $(-2; -3; 2)$.

Уравнение прямой $CD$: $\frac{x-3}{-2} = \frac{y+2}{-3} = \frac{z-1}{2}$.

Для прямой $DA$ используем точку $A(1; -1; 3)$. Сторона $DA$ параллельна стороне $CB$, поэтому ее направляющий вектор коллинеарен вектору $\vec{CB}=-\vec{BC} = (-\frac{1}{5}; \frac{37}{10}; \frac{1}{5})$. В качестве направляющего вектора можно взять коллинеарный ему вектор $(-2; 37; 2)$.

Уравнение прямой $DA$: $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+1}{37} = \frac{z-3}{2}$.

Ответ: Прямая $BC$: $\frac{x-3}{2} = \frac{y+2}{-37} = \frac{z-1}{-2}$; Прямая $CD$: $\frac{x-3}{-2} = \frac{y+2}{-3} = \frac{z-1}{2}$; Прямая $DA$: $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+1}{37} = \frac{z-3}{2}$.