Номер 2.44, страница 74 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.44. Дано:

1) $\vec{a}(1; 2; 3)$, $\vec{b}(3; 2; 1)$;

2) $\vec{a}(-2; 3; 4)$, $\vec{b}(5; 0; 2)$.

Найдите $\cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}})$.

Для нахождения косинуса угла между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ используется формула:

$cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ — скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — их длины (модули).

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется как $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$.

Длина вектора $\vec{v}(x; y; z)$ вычисляется как $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

1) Даны векторы $\vec{a}(1; 2; 3)$ и $\vec{b}(3; 2; 1)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 3 + 4 + 3 = 10$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.

$|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}$.

Теперь найдем косинус угла между векторами:

$cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{10}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$.

Ответ: $\frac{5}{7}$.

2) Даны векторы $\vec{a}(-2; 3; 4)$ и $\vec{b}(5; 0; 2)$.

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-2) \cdot 5 + 3 \cdot 0 + 4 \cdot 2 = -10 + 0 + 8 = -2$.

Найдем длины векторов:

$|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$.

$|\vec{b}| = \sqrt{5^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 0 + 4} = \sqrt{29}$.

Теперь найдем косинус угла между векторами:

$cos(\widehat{\vec{a}, \vec{b}}) = \frac{-2}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{29}} = \frac{-2}{29}$.

Ответ: $-\frac{2}{29}$.