Номер 2.47, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.47. Найдите расстояние от точки:

1) $A(2; 0; -3);$

2) $B(0; 3; 1);$

3) $C(-1; 1; 3);$

4) $D(-2; 1; 4)$ до плоскости $2x + y + 3z - 7 = 0.$

Для нахождения расстояния от точки $M(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости, заданной общим уравнением $Ax + By + Cz + D = 0$, используется следующая формула:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В данной задаче уравнение плоскости имеет вид $2x + y + 3z - 7 = 0$. Отсюда получаем коэффициенты: $A=2$, $B=1$, $C=3$, $D=-7$.

Найдем знаменатель дроби, который будет одинаковым для всех четырех случаев:

$\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$.

Теперь рассчитаем расстояние для каждой точки.

1) Найдем расстояние от точки $A(2; 0; -3)$ до плоскости $2x + y + 3z - 7 = 0$.

Подставим координаты точки A ($x_0=2, y_0=0, z_0=-3$) в формулу:

$d = \frac{|2(2) + 1(0) + 3(-3) - 7|}{\sqrt{14}} = \frac{|4 + 0 - 9 - 7|}{\sqrt{14}} = \frac{|-12|}{\sqrt{14}} = \frac{12}{\sqrt{14}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{12}{\sqrt{14}} = \frac{12\sqrt{14}}{14} = \frac{6\sqrt{14}}{7}$.

Ответ: $\frac{6\sqrt{14}}{7}$.

2) Найдем расстояние от точки $B(0; 3; 1)$ до плоскости $2x + y + 3z - 7 = 0$.

Подставим координаты точки B ($x_0=0, y_0=3, z_0=1$) в формулу:

$d = \frac{|2(0) + 1(3) + 3(1) - 7|}{\sqrt{14}} = \frac{|0 + 3 + 3 - 7|}{\sqrt{14}} = \frac{|-1|}{\sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{14}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{1}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{14}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{14}$.

3) Найдем расстояние от точки $C(-1; 1; 3)$ до плоскости $2x + y + 3z - 7 = 0$.

Подставим координаты точки C ($x_0=-1, y_0=1, z_0=3$) в формулу:

$d = \frac{|2(-1) + 1(1) + 3(3) - 7|}{\sqrt{14}} = \frac{|-2 + 1 + 9 - 7|}{\sqrt{14}} = \frac{|1|}{\sqrt{14}} = \frac{1}{\sqrt{14}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{1}{\sqrt{14}} = \frac{\sqrt{14}}{14}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{14}$.

4) Найдем расстояние от точки $D(-2; 1; 4)$ до плоскости $2x + y + 3z - 7 = 0$.

Подставим координаты точки D ($x_0=-2, y_0=1, z_0=4$) в формулу:

$d = \frac{|2(-2) + 1(1) + 3(4) - 7|}{\sqrt{14}} = \frac{|-4 + 1 + 12 - 7|}{\sqrt{14}} = \frac{|2|}{\sqrt{14}} = \frac{2}{\sqrt{14}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$\frac{2}{\sqrt{14}} = \frac{2\sqrt{14}}{14} = \frac{\sqrt{14}}{7}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{7}$.