Номер 2.50, страница 78 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.50. Докажите, что прямые $ \frac{x-1}{6} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1} $ и

$ \begin{cases} x-2y+2z-8 = 0, \\ x+6z-6 = 0 \end{cases} $ параллельны и найдите расстояние между ними.

Доказательство параллельности прямых

Для доказательства параллельности двух прямых в пространстве необходимо показать, что их направляющие векторы коллинеарны, и при этом прямые не совпадают.

Первая прямая $l_1$ задана каноническим уравнением:

$ \frac{x-1}{6} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1} $

Ее направляющий вектор $\vec{s}_1$ имеет координаты, указанные в знаменателях: $\vec{s}_1 = (6, 2, -1)$.

Вторая прямая $l_2$ задана как пересечение двух плоскостей:

$ \begin{cases} x - 2y + 2z - 8 = 0 \\ x + 6z - 6 = 0 \end{cases} $

Направляющий вектор этой прямой $\vec{s}_2$ будет перпендикулярен нормальным векторам обеих плоскостей. Нормальные векторы плоскостей: $\vec{n}_1 = (1, -2, 2)$ и $\vec{n}_2 = (1, 0, 6)$.

Найдем направляющий вектор $\vec{s}_2$ как векторное произведение векторов $\vec{n}_1$ и $\vec{n}_2$:

$ \vec{s}_2 = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 6 \end{vmatrix} = \vec{i}(-2 \cdot 6 - 2 \cdot 0) - \vec{j}(1 \cdot 6 - 2 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 0 - (-2) \cdot 1) = -12\vec{i} - 4\vec{j} + 2\vec{k} $

Таким образом, $\vec{s}_2 = (-12, -4, 2)$.

Сравним векторы $\vec{s}_1$ и $\vec{s}_2$. Проверим их на коллинеарность, то есть на пропорциональность их координат:

$ \frac{-12}{6} = -2 $, $ \frac{-4}{2} = -2 $, $ \frac{2}{-1} = -2 $

Так как отношения координат равны, векторы коллинеарны, и $\vec{s}_2 = -2\vec{s}_1$. Это означает, что прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны или совпадают.

Чтобы убедиться, что прямые не совпадают, возьмем точку, принадлежащую первой прямой, и проверим, лежит ли она на второй прямой. Из канонического уравнения $l_1$ возьмем точку $M_1(1, -1, 0)$.

Подставим координаты точки $M_1$ в уравнения второй прямой:

$ 1 - 2(-1) + 2(0) - 8 = 1 + 2 - 8 = -5 \neq 0 $

Поскольку координаты точки $M_1$ не удовлетворяют первому уравнению системы, точка $M_1$ не принадлежит прямой $l_2$. Следовательно, прямые параллельны и не совпадают.

Ответ: Доказано, что прямые параллельны.

Нахождение расстояния между прямыми

Расстояние между двумя параллельными прямыми можно найти как расстояние от точки на одной прямой до другой прямой. Формула для расстояния $d$ от точки $M_1$ до прямой, проходящей через точку $M_2$ с направляющим вектором $\vec{s}$:

$ d = \frac{|\vec{M_1M_2} \times \vec{s}|}{|\vec{s}|} $

У нас есть точка на первой прямой $M_1(1, -1, 0)$ и направляющий вектор $\vec{s} = \vec{s}_1 = (6, 2, -1)$.

Найдем любую точку $M_2$ на второй прямой $l_2$. Для этого решим систему, задав одну из координат. Пусть $z=0$:

$ \begin{cases} x - 2y - 8 = 0 \\ x - 6 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения получаем $x=6$. Подставляем в первое: $6 - 2y - 8 = 0$, что дает $-2y = 2$, то есть $y = -1$.

Таким образом, мы нашли точку на второй прямой $M_2(6, -1, 0)$.

Теперь найдем вектор $\vec{M_1M_2}$:

$ \vec{M_1M_2} = (6-1, -1-(-1), 0-0) = (5, 0, 0) $

Вычислим векторное произведение $\vec{M_1M_2} \times \vec{s}$:

$ \vec{M_1M_2} \times \vec{s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 5 & 0 & 0 \\ 6 & 2 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot (-1) - 0 \cdot 2) - \vec{j}(5 \cdot (-1) - 0 \cdot 6) + \vec{k}(5 \cdot 2 - 0 \cdot 6) = 0\vec{i} + 5\vec{j} + 10\vec{k} $

Вектор $\vec{M_1M_2} \times \vec{s} = (0, 5, 10)$.

Найдем длины векторов:

$ |\vec{M_1M_2} \times \vec{s}| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 10^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} $

$ |\vec{s}| = \sqrt{6^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{36 + 4 + 1} = \sqrt{41} $

Теперь можем вычислить расстояние:

$ d = \frac{5\sqrt{5}}{\sqrt{41}} = \frac{5\sqrt{5}\sqrt{41}}{41} = \frac{5\sqrt{205}}{41} $

Ответ: $ \frac{5\sqrt{205}}{41} $.