Номер 2.55, страница 79 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.55. Даны координаты вершин пирамиды $ABCD$: $A(2; 0; -3)$, $B(0; 3; 1)$, $C(-1; 1; 3)$, $D(-2; 1; 4)$. Найдите высоты, опущенные из каждой ее вершины.

Для нахождения высот пирамиды, опущенных из каждой вершины, мы будем использовать формулу, связывающую объем пирамиды, площадь ее основания и высоту: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$. Отсюда высота $h = \frac{3V}{S_{осн}}$.

Сначала найдем объем пирамиды (тетраэдра) $ABCD$. Объем тетраэдра, построенного на векторах $\vec{AB}$, $\vec{AC}$, $\vec{AD}$, равен одной шестой модуля их смешанного произведения:

$V = \frac{1}{6} |(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})|$

Найдем координаты векторов, выходящих из вершины A:

$\vec{AB} = (0-2; 3-0; 1-(-3)) = (-2; 3; 4)$

$\vec{AC} = (-1-2; 1-0; 3-(-3)) = (-3; 1; 6)$

$\vec{AD} = (-2-2; 1-0; 4-(-3)) = (-4; 1; 7)$

Смешанное произведение найдем как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:

$(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}) = \begin{vmatrix} -2 & 3 & 4 \\ -3 & 1 & 6 \\ -4 & 1 & 7 \end{vmatrix} = -2(1 \cdot 7 - 6 \cdot 1) - 3(-3 \cdot 7 - 6 \cdot (-4)) + 4(-3 \cdot 1 - 1 \cdot (-4)) = -2(7-6) - 3(-21+24) + 4(-3+4) = -2(1) - 3(3) + 4(1) = -2 - 9 + 4 = -7$

Объем пирамиды: $V = \frac{1}{6} |-7| = \frac{7}{6}$ кубических единиц.

Теперь для нахождения каждой высоты нам нужно найти площадь соответствующей грани (основания). Площадь треугольника, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, равна половине модуля их векторного произведения: $S = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}|$.

Высота, опущенная из вершины D

Высота $h_D$ опускается на основание $ABC$. Найдем площадь треугольника $ABC$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ мы уже нашли.

$\vec{AB} = (-2; 3; 4)$, $\vec{AC} = (-3; 1; 6)$

Найдем их векторное произведение:

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 3 & 4 \\ -3 & 1 & 6 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 6 - 4 \cdot 1) - \mathbf{j}(-2 \cdot 6 - 4 \cdot (-3)) + \mathbf{k}(-2 \cdot 1 - 3 \cdot (-3)) = \mathbf{i}(18-4) - \mathbf{j}(-12+12) + \mathbf{k}(-2+9) = 14\mathbf{i} + 0\mathbf{j} + 7\mathbf{k} = (14; 0; 7)$

Площадь $S_{ABC} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{14^2 + 0^2 + 7^2} = \frac{1}{2} \sqrt{196 + 49} = \frac{1}{2} \sqrt{245} = \frac{1}{2} \sqrt{49 \cdot 5} = \frac{7\sqrt{5}}{2}$.

Высота $h_D = \frac{3V}{S_{ABC}} = \frac{3 \cdot (7/6)}{7\sqrt{5}/2} = \frac{7/2}{7\sqrt{5}/2} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $h_D = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Высота, опущенная из вершины C

Высота $h_C$ опускается на основание $ABD$. Найдем площадь треугольника $ABD$. Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$ мы уже нашли.

$\vec{AB} = (-2; 3; 4)$, $\vec{AD} = (-4; 1; 7)$

Найдем их векторное произведение:

$\vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 3 & 4 \\ -4 & 1 & 7 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(3 \cdot 7 - 4 \cdot 1) - \mathbf{j}(-2 \cdot 7 - 4 \cdot (-4)) + \mathbf{k}(-2 \cdot 1 - 3 \cdot (-4)) = \mathbf{i}(21-4) - \mathbf{j}(-14+16) + \mathbf{k}(-2+12) = 17\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 10\mathbf{k} = (17; -2; 10)$

Площадь $S_{ABD} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AD}| = \frac{1}{2} \sqrt{17^2 + (-2)^2 + 10^2} = \frac{1}{2} \sqrt{289 + 4 + 100} = \frac{\sqrt{393}}{2}$.

Высота $h_C = \frac{3V}{S_{ABD}} = \frac{3 \cdot (7/6)}{\sqrt{393}/2} = \frac{7/2}{\sqrt{393}/2} = \frac{7}{\sqrt{393}} = \frac{7\sqrt{393}}{393}$.

Ответ: $h_C = \frac{7\sqrt{393}}{393}$

Высота, опущенная из вершины B

Высота $h_B$ опускается на основание $ACD$. Найдем площадь треугольника $ACD$. Векторы $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$ мы уже нашли.

$\vec{AC} = (-3; 1; 6)$, $\vec{AD} = (-4; 1; 7)$

Найдем их векторное произведение:

$\vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 1 & 6 \\ -4 & 1 & 7 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 7 - 6 \cdot 1) - \mathbf{j}(-3 \cdot 7 - 6 \cdot (-4)) + \mathbf{k}(-3 \cdot 1 - 1 \cdot (-4)) = \mathbf{i}(7-6) - \mathbf{j}(-21+24) + \mathbf{k}(-3+4) = 1\mathbf{i} - 3\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (1; -3; 1)$

Площадь $S_{ACD} = \frac{1}{2} |\vec{AC} \times \vec{AD}| = \frac{1}{2} \sqrt{1^2 + (-3)^2 + 1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + 9 + 1} = \frac{\sqrt{11}}{2}$.

Высота $h_B = \frac{3V}{S_{ACD}} = \frac{3 \cdot (7/6)}{\sqrt{11}/2} = \frac{7/2}{\sqrt{11}/2} = \frac{7}{\sqrt{11}} = \frac{7\sqrt{11}}{11}$.

Ответ: $h_B = \frac{7\sqrt{11}}{11}$

Высота, опущенная из вершины A

Высота $h_A$ опускается на основание $BCD$. Найдем площадь треугольника $BCD$. Для этого найдем векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$.

$\vec{BC} = (-1-0; 1-3; 3-1) = (-1; -2; 2)$

$\vec{BD} = (-2-0; 1-3; 4-1) = (-2; -2; 3)$

Найдем их векторное произведение:

$\vec{BC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2 \cdot 3 - 2 \cdot (-2)) - \mathbf{j}(-1 \cdot 3 - 2 \cdot (-2)) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-2) - (-2) \cdot (-2)) = \mathbf{i}(-6+4) - \mathbf{j}(-3+4) + \mathbf{k}(2-4) = -2\mathbf{i} - 1\mathbf{j} - 2\mathbf{k} = (-2; -1; -2)$

Площадь $S_{BCD} = \frac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BD}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4 + 1 + 4} = \frac{1}{2} \sqrt{9} = \frac{3}{2}$.

Высота $h_A = \frac{3V}{S_{BCD}} = \frac{3 \cdot (7/6)}{3/2} = \frac{7/2}{3/2} = \frac{7}{3}$.

Ответ: $h_A = \frac{7}{3}$